Микаэль Лонэ - Большой роман о математике. История мира через призму математики

Аль-Хорезми идет еще дальше в изучении уравнений. Он утверждает также, что методика расчета не зависит и от самого значения исходных чисел. Рассмотрим три уравнения, представленных ниже.

1. Найдем число, которое при умножении на 5 дает 30.

2. Найдем число, которое при умножении на 2 дает 16.

3. Найдем число, которое при умножении на 3 дает 60 .

В каждом из этих уравнений уже скрывается множество различных конкретных задач. Но еще раз обратим внимание на то, что для их решения станет применяться один и тот же метод. Во всех трех случаях решение будет находиться путем деления второго числа на первое: в первом примере 30 ÷ 5 = 6; во втором 16 ÷ 2 = 8 и в третьем 60 ÷ 3 = 20.

Таким образом, становится понятным, что метод решения будет одинаковым не только для любых качественных характеристик задачи, но и для ее количественных параметров.

Поэтому становится возможным формулировать уравнения еще более абстрактно:

Найдите число, которое при умножении на число 1 дает число 2 .

Любые задачи с такими условиями решаются одинаково: необходимо разделить число 2 на число 1.

Конечно же, представленный пример очень прост. В условии говорится только об умножении, и для нахождения ответа достаточно использовать только деление. Но в других случаях поиск ответа может потребовать проведения и других операций. Аль-Хорезми в основном станет описывать уравнения, в которых неизвестное может быть найдено посредством проведения четырех основных операций (сложение, вычитание, умножение и деление), а также возведения во вторую степень. Например:

Найдите число, квадрат которого равен произведению этого числа и 3, увеличенному на 10 .

Решение той задачи равно 5. Квадрат 5 составляет 25, что соответствует равенству 25 = 3 × 5 + 10. В этот раз нам повезло, потому что это решение представляет собой целое число и оно наверняка выведено путем определенных поисков. Но когда решением будет очень большое число или нецелое число, необходимо иметь точный метод нахождения их значений на систематической основе. Это именно то, о чем аль-Хорезми пишет в предисловии к своей книге. Он описал шаг за шагом вычисления, которые следовало выполнить исходя из данных задачи, вне зависимости от чисел. Во второй раз он приводит доказательство того, что его методы работают.

Подход аль-Хорезми прекрасно вписывается в общую тенденцию развития математики, которая стремится к абстракции и общности. Уже достаточно давно объекты исследования в математике были отделены от реальных объектов, которые они обозначают. Аль-Хорезми использовал те же самые аргументы для того, чтобы решать абстрактные задачи.

Не все уравнения имеют простое решение. Среди них есть и такие, которые ставят в тупик даже современных математиков. Сложность уравнения определяется тем, какие операции необходимо совершить для его решения. Так, если для нахождения ответа необходимо совершить только сложение, вычитание, умножение и деление, это уравнения первой степени. Вот несколько примеров:

К какому числу необходимо добавить 3, чтобы получилось 10?

Какое число при делении на 2 дает 15?

Какое число, если его умножить на 2, а затем вычесть из получившегося результата 10, дает 0?

Уравнения первой степени – самые простые. Немного подумав, можно вычислить решения этих трех задач соответственно: 7, т. к. 7 + 3 = 10; 30, т. к. 30 ÷ 2 = 15; 5, т. к. 5 × 2–10 = 0.

Если к этим четырем операциям добавить возведение в квадрат, иначе говоря, умножение числа на себя, то это уже будут уравнения второй степени, и их решение станет сложнее. В своей работе аль-Хорезми приводит решение именно уравнений второй степени:

Квадрат искомого числа, увеличенный на 20, равен числу, в 10 раз большему искомого.

Квадрат искомого числа, увеличенный на произведение этого числа и 10, равен 39 .

Особенностью решения уравнений второй степени является то, что они могут иметь два решения. В данном случае числа 3 и 7 будут решениями первого уравнения, т. к. 3 × 3 + 21 = 3 × 10 и 7 × 7 + 21 = 7 × 10. Второе уравнение также имеет два решения: 3 и –13.

В IX в. геометрия все еще оставалась основой математики, и доказательства аль-Хорезми строились также на геометрии. Ученые Античности утверждали, что квадрат числа и умножение двух чисел можно представить в виде площади. Уравнение второй степени можно представить в геометрическом виде. Вот, например, так можно представить выше изложенные уравнения. Вопросительными знаками обозначены искомые величины.

Квадрат числа плюс 21 равен этому числу, умноженному на 10.

Квадрат числа, к которому прибавляется число в десять раз больше, равно 39.

Аль-Хорезми использовал для решения усовершенствованный метод мозаики. Он предложил отрезать, добавлять или удалять части по мере необходимости, чтобы получить фигуру, являющуюся решением. Рассмотрим, например, второе из приведенных выше уравнений и сперва разобьем прямоугольник, который в 10 раз больше искомого числа, на два, каждый из которых в 5 раз больше искомого.

Далее переставим части следующим образом:

Наконец, добавим к двум равным сторонам, фигуру площадью в 25 таким образом, чтобы сложить их вместе.

Сторона квадрата, расположенного слева, равна искомой величине, увеличенной на 5, в то время как сторона правого квадрата равна 8. Исходя из этих данных, можно сделать вывод, что искомая величина равна 3.

Обратите внимание, что описанная выше фигура имеет нестандартную форму. До того момента, когда нашли ответ 3, было невозможно определить ее форму, в связи с чем длины сторон изображались неверно. Это совершенно не важно, поскольку в данном случае значение имеют не конкретные числовые показатели, а доказательство того, что описываемый метод применим в любой аналогичной ситуации, вне зависимости от показателей, присутствующих в уравнении. Согласно одному из определений, геометрия – это искусство идеального рассуждения о неидеальных фигурах. И вот прекрасный тому пример! Заметим, однако, что найденная с помощью этого метода неизвестная величина является длиной, то есть положительным числом, что, таким образом, приводит к упущению еще одного, отрицательного, решения. Это уравнение имеет еще одно решение, равное –13, и аль-Хорезми упускает его в своих рассуждениях.