Микаэль Лонэ - Большой роман о математике. История мира через призму математики

Структура, которая повторяется? Это вам ничего не напоминает? Поразительно похоже на месопотамские узоры и арабские замощения полов. Узор – это повторяющаяся последовательность в одном направлении, замощение – в двух. Для изучения кристаллов необходимо использовать те же принципы, но на этот раз в трехмерном пространстве. Месопотамские ремесленники обнаружили семь видов узоров, а арабские мастера – семнадцать видов замощения. С помощью алгебраических структур теперь можно было доказать, что эти цифры окончательные и других типов нет. Эти же алгебраические структуры позволили рассчитать, что существует 230 видов замощения в трехмерном пространстве. Среди простейших видов можно выделить мощение кубами, шестигранными призмами или усеченными октаэдрами, [16]графическое изображение которых приводится ниже.

Трехмерные структуры, состоящие из кубов, шестигранных призм или усеченных октаэдров (слева направо). Такие структуры можно продолжать в пространстве до бесконечности

Элементы идеально стыкуются между собой, образуя структуру, которая может простираться до бесконечности во всех направлениях. Кто бы мог подумать, что отголоски геометрии, распознанные в узорах, нанесенных мастерами Месопотамии, в дальнейшем породят идею, лежащую в основе изучения свойств материи?

Кристаллы встречаются повсеместно в нашей жизни. В качестве примеров можно привести поваренную соль, состоящую из множества мелких кристаллов хлорида натрия, или кварц, регулярные колебания которого под воздействием электрического тока являются неотъемлемой частью работы наших часов. Но будьте внимательны, слово «кристалл» иногда используется в повседневном языке некорректно.

Так, хрустальные бокалы на самом деле не состоят из кристаллов в научном смысле этого слова. [17]

Если вы хотите полюбоваться на самые эффектные образцы, можете посетить минералогическую коллекцию. Так, одна из самых красивых коллекций в мире экспонируется в Университете Пьера и Марии Кюри в Париже.

Невероятная эффективность математизации мира, однако, не отвечает на следующий обескураживающий вопрос. Почему язык математики так идеально подходит для описания мира? Для того чтобы понять это, вернемся к формуле Ньютона.

Гравитационная сила в соответствии с формулой определяется с помощью двух действий умножения, деления и возведения во вторую степень. Простота этого выражения кажется маловероятным совпадением! Известно, что не все цифры могут быть выражены с помощью простых математических формул. Это касается, например, числа π и многих других. С точки зрения статистики сложные цифры еще более многочисленны, чем простые. Если взять случайное число, то будет гораздо больше шансов, что оно окажется нецелым. Аналогичным образом, вы с большей вероятностью столкнетесь с числом с бесконечным количеством знаков после запятой, чем с целым, а также скорее выбранное вами число не сможет быть выражено в виде формулы, чем будет вычисляться с применением элементарных действий.

Формула Ньютона удивительна еще и тем, что сила в ней определяется в зависимости от массы и расстояния между объектами. Это не просто постоянная величина, как, например, π. Независимо от массы двух тел и расстояния между ними, притяжение между ними всегда будет измеряться по этой формуле! До того момента, когда Ньютон сформулировал этот закон, логично было предположить, что определить силу притяжения с помощью математической формулы невозможно. И даже если допустить существование такой формулы, она могла бы оказаться невероятно сложной, включающей в себя не только умножение, деление и возведение во вторую степень.

К счастью, формула Ньютона оказалась проще! Удивительно, что природа так изысканно говорит на языке математики. Часто в истории оказывалось, что модели, разработанные математикой только из-за их красоты, спустя столетия после своего открытия находят применение в физических науках. И это касается не только силы тяготения. Электромагнитные явления, квантовые свойства элементарных частиц, релятивистская деформация пространства и времени – все это может быть удивительно лаконично выражено математическим языком.

Возьмем в качестве еще одного примера самую известную из всех формул: E = mc 2. Это равенство, сформулированное Альбертом Эйнштейном, соотносит массу и энергию физических объектов. Здесь не будет приводиться доказательство этой формулы, так как сейчас у нас стоит другая цель. Но только задумайтесь: принцип функционирования нашей Вселенной, который, как правило, считается одним из самых захватывающих и непостижимых, выражается алгебраической формулой, состоящей всего из пяти символов! Какое чудо! Как правило, в этой ситуации вспоминают фразу Эйнштейна, которая подходит к подобным ситуациям: «Самое непостижимое в этом мире – это то, что он постижим». Остается домыслить, что постижим он с помощью математики. В 1960 г. физик Юджин Вигнер сформулировал это как «непостижимую эффективность математики».

Наконец, так ли хорошо мы знаем эти абстрактные объекты, цифры, фигуры, ряды и формулы, которые, как нам кажется, мы создали? Если математика действительно плод деятельности нашего мозга, зачем же мы тогда ищем ее проявления за пределами нашей головы? Откуда они берутся в окружающем нас мире? В самом ли деле они там есть? Или то, что мы видим, – это не более чем гигантская оптическая иллюзия? Представить себе, что математические объекты существуют вне человеческого разума, было бы равносильно тому, чтобы признать их реальными, даже если они являются чистой абстракцией. Что в таком случае вообще означает глагол «быть», если мы применяем его к бестелесным объектам?

Не надейтесь, что я смогу ответить хотя бы на один их этих вопросов.

Тесная зависимость математики с физикой недолго оставалась уникальным явлением. Начиная с XVII в. эти две дисциплины постоянно обмениваются идеями, обогащая друг друга. Поскольку физика основывается на формулах, каждое новое открытие требует математического подтверждения. Существуют ли уже соответствующие формулы или их еще предстоит изобрести? В последнем случае перед математиками встает задача создать новые теории на заказ. Так физика становится для них одним из самых главных источников вдохновения.