Микаэль Лонэ - Большой роман о математике. История мира через призму математики

Развитие ньютоновской теории гравитации стало одним из первых катализаторов развития инновационной математики. Чтобы понять это, вернемся к следу кометы Галлея. Знать силу, которая притягивает ее к Солнцу, это уже что-то, но как, исходя из этой информации, вычислить ее траекторию и другую полезную информацию, такую, как, например, ее положение в конкретную дату или точный период обращения?

Один из классических вопросов, на которые предстоит ответить, – это, в частности, определение пройденного расстояния в зависимости от скорости. Если я скажу вам, что скорость перемещения кометы в пространстве равна 2000 метров в секунду, и спрошу, какое расстояние она пройдет за одну минуту, найти ответ будет достаточно просто. За одну минуту комета пройдет 60 раз по 2000 метров, то есть 120 000 м, или 120 км. Проблема заключается в том, что в реальности все намного сложнее. Скорость кометы не постоянная, а меняется с течением времени. На своем афелии, то есть в самой дальней точке от Солнца, она составляет 800 метров в секунду, в то время как в перигелии, ближе всего к Солнцу, она составляет 50 000 метров в секунду. Большая разница!

И вся сложность заключается в том, что между этими двумя крайностями комета не разгоняется постепенно и никогда не движется на одной скорости. В определенный момент комета движется со скоростью 2000 метров в секунду, но она не постоянна. Мгновение до скорость была немного больше, скажем, 2000,001 метра в секунду и уже через долю секунды после она уже равна 1999,999 метра в секунду. Невозможно найти такой промежуток времени, даже самый крошечный, в котором комета сохраняет постоянную скорость! Как при таких условиях точно рассчитать расстояние, которое она пройдет?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, математики прибегают к методу, который странным образом напоминает способ, использовавшийся две тысячи лет назад Архимедом для вычисления числа π. Подобно тому как ученый из Сиракуз сопоставлял круг и многоугольники с большим количеством сторон, можно приблизительно рассчитать траекторию движения кометы, разбив ее путь на все более и более короткие промежутки. Можно, например, предположить, что комета поддерживает постоянную скорость 800 метров в секунду определенный интервал времени, а затем начинает двигаться на скорости 900 метров в секунду еще один интервал времени и так далее. Траектория, рассчитанная таким образом, не будет точной, но может рассматриваться как приближенная. Для того чтобы увеличить точность расчетов, достаточно взять за основу более короткие интервалы. Вместо того чтобы рассматривать интервалы 100 метров в секунду, можно сократить их до 10,1 или даже 0,1 метра в секунду. Чем более мелкие отрезки скорости будут выбраны для расчетов, тем полученная траектория окажется ближе к фактической траектории кометы!

Последовательность приближенных расстояний, пройденных кометой от афелия до перигелия, может выглядеть следующим образом:

47 42 40 39 38,6 38,52 38,46 38,453…

Эти числа приведены в астрономических единицах. [18]Другими словами, если мы предположим, что скорость кометы остается неизменной в интервале 100 метров в секунду, расстояние между афелием и перигелием будет равняться 47 астрономическим единицам. Этот результат, разумеется, является грубым приближением. Если уточнить интервал до 10 метров в секунду, искомое расстояние будет равно 42 астрономическим единицам. Отрезки, на которых происходит изменение скорости, сокращаются все больше и больше, расстояние приближается к 38,45 астрономическим единицам. Это предельное значение соответствует фактическому расстоянию, которое проходит комета между двумя крайними точками своего пути.

В некотором смысле этот результат можно назвать полученным с помощью разделения траектории кометы на бесконечное число бесконечно малых интервалов. Данный подход аналогичен методу Архимеда, по которому можно рассчитать число π, представив круг как многоугольник с бесконечным числом бесконечно малых сторон! Проблема этих двух утверждений в определении бесконечности. Этот термин знаком нам еще из рассуждений Зенона, в которых неоднозначное и опасное понятие бесконечности приводило к балансированию на грани парадокса.

Таким образом, есть два варианта: либо полностью отказаться от использования понятия бесконечности, кропотливо изучать проблемы ньютоновской физики с помощью рядов предельных приближений, либо собрать всю волю в кулак и осторожно погрузиться в болото бесконечно малых интервалов. Именно по этому пути пошел Ньютон в « Математических началах натуральной философии ». Этого же подхода будет придерживаться немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц, который независимо от Ньютона сделал аналогичное открытие, а также доработал некоторые понятия, требовавшие уточнений в рассуждениях Ньютона. Из этих исследований будет рождаться новая отрасль математики, которая получит название «исчисление бесконечно малых величин».

Вопрос об авторстве этой отрасли еще долго обсуждался в последующие годы. В то время как Ньютон был первым, кто начал заниматься исследованиями в этом направлении уже с 1669 г., но слишком долго не предавал гласности результаты своей работы, Лейбниц сформулировал соответствующую теорию и опубликовал свою работу в 1684 г., за три года до « Математических начал натуральной философии ». Это переплетение дат привело к возникновению конфликта между английским и немецким научными сообществами, каждое из которых не признало первенство другого и даже предъявляло обвинения в плагиате. Сегодня представляется, что ни один из ученых не знал о существовании подобных исследований, и можно считать, что исчисление бесконечно малых величин было открыто каждым из них самостоятельно.

В самом начале теория не была идеальной. Многим пунктам в исследованиях Ньютона и Лейбница все еще не хватало строгости и обоснованности. Как это уже случилось ранее с мнимыми числами, был сделан вывод, что одни методы работают, а другие – нет, без понимания истинных причин этого.

Так, исчисление бесконечно малых величин становится подобным изучению неизведанной территории, когда на карте помечают важные связующие направления и запретные пути, ведущие к тупикам и парадоксам. В 1748 г. итальянский математик Мария Гаэтана Аньези публикует свою работу под названием « Основы анализа » (от итал. Instituzioni Analitiche ), в которой впервые будут описаны накопленные на тот момент знания в области молодой дисциплины. Спустя столетие немецкий математик Бернхард Риман опубликует свою работу с наиболее поздними исследованиями применения этой дисциплины.