РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС - Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

Один комбинированный денежный счет по сравнению с отдельными денежными счетами

Прежде чем мы обсудим параметрические методы, необходимо рассмотреть не­которые очень важные вопросы в отношении торговли фиксированной долей. Во-первых, при одновременной торговле более чем в одной рыночной системе вы получите лучшие результаты в асимптотическом смысле, если будете использо­вать только один комбинированный денежный счет. Рассчитывать количество контрактов для торговли следует не для каждого отдельно взятого денежного сче­та, а для этого единого комбинированного счета.

По этой причине необходимо ежедневно «соединять» подсчета при измене­нии их балансов. Сравним две похожие системы: систему А и систему Б. Обе сис­темы имеют 50% шанс выигрыша и обе имеют отношение выигрыша 2:1. Поэтому оптимальное f диктует, чтобы мы ставили 1 доллар на каждые 4 доллара баланса. Первый пример описывает ситуацию, когда эти две системы имеют положитель­ную корреляцию. Мы начинаем со 100 долларов и разбиваем их на 2 подсчета по 50 долларов каждый. После регистрации сделки для этой системы изменится только столбец «Полный капитал», так как каждая система имеет свой собствен­ный отдельный счет. Размер денежного счета каждой системы используется для определения ставки для последующей игры:

Теперь мы рассмотрим комбинированный счет в 100 единиц. Вместо того чтобы ставить 1 доллар на каждые 4 доллара на комбинированном счете для каждой сис­темы, мы будем ставить 1 доллар на каждые 8 долларов комбинированного счета. Каждая сделка для любой системы затрагивает комбинированный счет, и именно комбинированный счет используется для определения размера ставки для после­дующей игры (Таблица II).

Отметьте, что в случае комбинированного счета и в случае отдельных счетов при­быль одна и та же: $42,38. Мы рассматривали положительную корреляцию между дву­мя системами. Теперь рассмотрим случай с отрицательной корреляцией между теми же системами, для двух отдельных денежных счетов (Таблица III):

Как видите, при работе с отдельными денежными счетами обе системы выигры­вают ту же сумму независимо от корреляции. Однако при комбинированном счете:

При использовании комбинированного счета результаты гораздо лучше. Та­ким образом, торговать фиксированной долей следует на основе одного комбиниро­ванного счета.

Рассматривайте каждую игру как бесконечно повторяющуюся

Следующая аксиома, касающаяся торговли фиксированной долей, относится к максимизации текущего события, как будто оно должно быть осуществлено бес­конечное количество раз в будущем. Мы определили, что для процесса независи­мых испытаний вы должны всегда использовать оптимальное и постоянное f, но при наличии зависимости оптимальное f уже не будет постоянной величиной.

Допустим, в нашей системе существует зависимость, в соответствии с которой подобное порождает подобное, а доверительная граница достаточно высока. Для на­глядности мы будем использовать уже знакомую нам игру 2:1. Система показывает, что если последняя игра выигрышная, то следующая игра имеет 55% шанс выигры­ша. Если последняя игра проигрышная, то следующая игра имеет 45% шанс проиг­рыша. Таким образом, если последняя игра была выигрышная, то исходя из формулы Келли, уравнение (1.10) для поиска оптимального f (так как результаты игры имеют бернуллиево распределение), получим:

(1.10) f =((2+1)* 0,55-1)/2 =(3*0,55- 1)/2=0,65/2=0,325

После проигрышной игры наше оптимальное f равно:

f =((2+1)* 0,45-1)/2 =(3*0,45-1) /2 =0,35/2 =0,175

Разделив наибольший проигрыш системы (т.е. -1) на отрицательные оптималь­ные f, мы получим 1 ставку на каждые 3,076923077 единицы на счете после выиг­рыша и 1 ставку на каждые 5,714285714 единицы на счете после проигрыша. Та­ким образом мы максимизируем рост в долгосрочной перспективе.

Отметьте, что в этом примере ставки как после выигрышей, так и после проигрышей все еще имеют положительное математическое ожидание. Что произойдет, если после проигрыша вероятность выигрыша будет равна 0,3? В таком случае математическое ожидание имеет отрицательное значение и оп­тимального f не существует, таким образом, вам не следует использовать эту игру: