РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС - Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

где G = среднее геометрическое;

Х = значение, соответствующее точке i;

N = общее число точек данных в распределении.

Среднее геометрическое не может быть рассчитано, если хотя бы одна из пере­менных меньше или равна нулю.

Мы знаем, что арифметическое математическое ожидание является средним арифметическим результатом каждой игры (на основе 1 единицы) минус размер ставки. Таким же образом можно сказать, что геометрическое математическое ожидание является средним геометрическим результатом каждой игры (на основе 1 единицы) минус размер ставки.

Еще одним видом среднего является среднее гармоническое (harmonic mean). Это обратное значение от среднего обратных значений точек данных.

где Н = среднее гармоническое;

Х = значение, соответствующее точке i;

N = общее число точек данных в распределении.

Последней величиной, определяющей центральную тенденцию, является среднее квадратическое (quadratic mean), или среднеквадратический корень (root mean square).

где R = среднеквадратический корень;

Х = значение, соответствующее точке i;

N = общее число точек данных в распределении.

Вы должны знать, что среднее арифметическое (А) всегда больше или равно сред­нему геометрическому (G), а среднее геометрическое всегда больше или равно среднему гармоническому (Н):

G = среднее геометрическое;

А = среднее арифметическое.

Моменты распределения

Центральное значение, или расположение распределения, — первое, что надо знать о группе данных. Следующая величина, которая представляет интерес, — это изменчивость данных, или «ширина» относительно центрального значения. Мы назовем значение центральной тенденции первым моментом распределения. Изменчивость точек данных относительно центральной тенденции называется вторым моментом распределения. Следовательно, второй момент измеряет раз­брос распределения относительно первого момента.

Как и в случае с центральной тенденцией, существует много способов измере­ния разброса. Далее мы рассмотрим семь из них, начиная с наименее распростра­ненных вариантов и заканчивая самыми распространенными.

Широта (range) распределения — это просто разность между самым высоким и самым низким значением распределения. Таким же образом широта перцентиля 10-90 является разностью между 90-й и 10-й точками. Эти первые две величины измеряют разброс по крайним точкам. Остальные пять измеряют отклонение от центральной тенденции (т.е. измеряют половину разброса).

Семи-интерквартильная широта (sem-interquartile range), или квартальное от­клонение (quartile deviation), равна половине расстояния между первым и третьим квартилями (25-й и 75-й перцентили). В отличие от широты перцентиля 10-90, здесь широта делится на два.

Полуширина (half-width) является наиболее распространенным способом изме­рения разброса. Сначала надо найти высоту распределения в его пике (моде), за­тем найти точку в середине высоты и провести через нее горизонтальную линию перпендикулярно вертикальной линии. Горизонтальная линия пересечет кривую распределения в одной точке слева и в одной точке справа. Расстояние между эти­ми двумя точками называется полушириной.

Среднее абсолютное отклонение (mean absolute deviation), или просто среднее отклонение, является средним арифметическим абсолютных значений разности значения каждой точки и среднего арифметического значений всех точек. Други­ми словами (что и следует из названия), это среднее расстояние, на которое значе­ние точки данных удалено от среднего. В математических терминах:

где М = среднее абсолютное отклонение;

N = общее число точек данных;

X. = значение, соответствующее точке i;

А = среднее арифметическое значений точек данных;

ABS() = функция абсолютного значения.

Уравнение (3.06) дает нам совокупное среднее абсолютное отклонение. Вам сле­дует знать, что можно рассчитать среднее абсолютное отклонение по выборке. Для расчета среднего абсолютного отклонения выборки замените 1 / N в уравне­нии (3.06) на 1 / (N - 1). Используйте эту версию, когда расчеты ведутся не по всей совокупности данных, а по некоторой выборке.

Самыми распространенными величинами для измерения разброса являются дисперсия и стандартное отклонение. Как и в случае со средним абсолютным от­клонением, их можно рассчитать для всей совокупности и для выборки. Далее показана версия для всей совокупности данных, которую можно легко переделать в выборочную версию, заменив l/NHal/(N-l). Дисперсия (variance) чем-то напоминает среднее абсолютное отклонение, но при расчете дисперсии каждая разность значения точки данных и среднего значе­ния возводится в квадрат. В результате, нам не надо брать абсолютное значение каждой разности, так как мы автоматически получаем положительный результат, независимо от того, была эта разность отрицательной или положительной. Кроме того, так как в квадрат возводится каждая из этих величин, крайние выпадающие значения оказывают большее влияние на дисперсию, а не на среднее абсолютное отклонение. В математических терминах:

где V = дисперсия;

N = общее число точек данных;

X. = значение, соответствующее точке i;

А = среднее арифметическое значений точек данных.

Стандартное отклонение (standard deviation) тесно связано с дисперсией (и, следо­вательно, со средним абсолютным отклонением). Стандартное отклонение явля­ется квадратным корнем дисперсии.

Третий момент распределения называется асимметрией (skewness), и он опи­сывает асимметричность распределения относительно среднего значения (рису­нок 3-2). В то время как первые два момента распределения имеют размерные ве­личины (то есть те же единицы измерения, что и измеряемые параметры), асим­метрия определяется таким способом, что получается безразмерной. Это просто число, которое описывает форму распределения.

Положительное значение асимметрии означает, что хвосты больше с положи­тельной стороны распределения, и наоборот. Совершенно симметричное распре­деление имеет нулевую асимметрию.