РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС - Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

Преобразованные данные будут нормально распределяться, если необработан­ные данные распределялись логарифмически нормально. Если мы рассматриваем распределение изменений цены и оно логарифмически нормальное, то можно ис­пользовать нормальное распределение. Сначала мы должны разделить каждую цену закрытия на предыдущую цену закрытия. Допустим, мы рассматриваем распределе­ние ежемесячных цен закрытия (можно использовать любой временной период: ча­совой, дневной, годовой и т.д.). Предположим, цены закрытия последних пяти меся­цев — 10 долларов, 5 долларов, 10 долларов, 10 долларов и 20 долларов. Это соответ­ствует понижению на 50% во втором месяце, повышению на 100% в третьем месяце, повышению на 0% в четвертом месяце и повышению на 100% в пятом месяце. Соот­ветственно мы получим частные 0,5; 2; 1 и 2 по ежемесячным изменениям цен со второго по пятый месяцы. Это то же, что и HPR нашей последовательности. Теперь мы должны преобразовать их в натуральные логарифмы, чтобы изучить полученное распределение на основе математического аппарата нормального распределения. Таким образом, натуральный логарифм 0,5 равен -0,6931473, ln(2) =0,6931471 и ln(1) = 0. Теперь к распределению этих преобразованных данных мы можем приме­нять математические методы, относящиеся к нормальному распределению.

Параметрическое оптимальное f

Мы немного познакомились с математикой нормального и логарифмически нор­мального распределения и теперь посмотрим, как находить оптимальное f по нормально распределенным результатам. Формула Келли является примером параметрического оптимального f, где f явля­ется функцией двух параметров. В формуле Келли вводные параметры — это про­цент выигрышных ставок и отношение выигрыша к проигрышу. Однако формула Келли даст вам оптимальное f только тогда, когда возможные результаты имеют бернуллиево распределение. Другими словами, формула Келли даст правильное оптимальное f, когда есть только два возможных результата, в противном случае, как, например, в нормально распределенных результатах, формула Келли не даст вам правильное оптимальное f [15] Здесь мы говорим о формулах Келли в единственном числе, хотя, фактически, есть две версии формулы Келли: одна для случая, когда отношение выигрыша к проиг­рышу составляет 1:1, а другая для случая, когда отношение выигрыша к проигрышу произвольно. В этой главе мы исходим из отношения 1:1, поэтому не имеет значения, какую именно формулу Келли мы используем. .

Параметрические методы гораздо мощнее эмпирических. Рассмотрим си­туацию, которую можно полностью описать бернуллиевым распределением. Мы можем рассчитать оптимальное f либо из формулы Келли, либо с помо­щью эмпирического метода. Допустим, мы выигрываем 60% времени. Предполо­жим, мы бросаем несимметричную монету, и при долгой последовательности 60% бросков будут приходиться на лицевую сторону. Поэтому мы каждый раз ставим на то, что монета будет выпадать на лицевую сторону, и выигрыш составляет 1:1. Из формулы Келли следует, что надо ставить 0,2 нашего счета. Также допустим, что из прошлых 20 бросков 11 выпали лицевой стороной, а 9 обратной. Если бы мы использовали эти 20 сделок в качестве вводных данных для эмпирического метода расчета f, результатом было бы то, что следует рисковать 0,1 нашего счета при каждой следующей ставке. Какое значение правильно, 0,2, полученное параметрическим методом (фор­мула Келли с бернуллиевым распределением), или 0,1, найденное эмпирически на основе 20 последних бросков? Правильным ответом является значение 0,2, найденное с помощью параметрического метода. Причина в том, что каждый последующий бросок имеет 60% вероятность выпасть лицевой стороной, а не 55% вероятность, что следует из результатов 20 последних бросков. Хотя мы рассмат­риваем только 5% отклонение в вероятности, то есть 1 бросок из 20, результаты после применения разных значений f будут сильно отличаться. Вообще парамет­рические методы внутренне более точны, чем эмпирические (при условии, что мы знаем распределение результатов). Это первое преимущество параметричес­кого метода. Самый большой недостаток параметрических методов состоит в том, что мы должны знать, каким распределение результатов будет в течение длитель­ного времени. Второе преимущество состоит в том, что для эмпирического метода требуют­ся исторические данные, в то время как для параметрического в этом нет необхо­димости. Кроме того, эта история должна быть довольно протяженной. В только

что рассмотренном примере можно предположить, что, если бы у нас была исто­рия 50 бросков, мы бы получили эмпирическое оптимальное f ближе к 0,2. При истории 1000 бросков оно было бы еще ближе. Тот факт, что эмпирические методы требуют довольно большого объема исторических данных, свел все их использование к механическим торговым системам. Тот, кто в торговле использует что-либо отличное от механических торговых систем, будь то волны Эллиотта или фундаментальные данные, прак­тически не имеет возможности использовать метод оптимального f. С парамет­рическими методами дело обстоит иначе. Например, тот, кто желает слепо сле­довать какому-нибудь рыночному гуру, имеет теперь возможность использо­вать оптимальное f. В этом состоит третье преимущество параметрического мето­да — он может использоваться любым трейдером на любом рынке. В том случае, когда не используется механическая торговая система, следует помнить о важном допущении. Оно состоит в том, что будущее распределение прибылей и убытков будет напоминать распределение в прошлом (поэтому мы и рассчитываем оптимальное f), это может оказаться менее вероятным, чем в случае использования механической системы.

Все вышесказанное заставляет по-иному взглянуть на ожидаемую работу лю­бого не полностью механического метода. Даже профессионалы («фундамента-листы», последователи Ганна или Эллиотта и т.п.), использующие такие методы, обречены на неудачу, если они находятся далеко справа от пика кривой f. Если они слишком далеко слева от пика, то получат геометрически более низкие при­были, чем их опыт и навыки в этой области позволяют. Более того, практики не полностью механических методов должны понимать, что все сказанное об опти­мальном f и чисто механических методах будет иметь прямое отношение и к их системам. Это надо учитывать при использовании подобных методов. Помните, что проигрыши могут быть значительными, но это не означает, что метод не сле­дует применять.

Четвертое и, возможно, наибольшее преимущество параметрического метода определения оптимального f состоит в том, что параметрический метод позволя­ет создавать модели «что если». Например, вы решили торговать по рыночной системе, которая работала достаточно успешно, но хотите подготовиться к ситуа­ции, когда эта рыночная система прекратит хорошо работать. Параметрические методы позволяют варьировать ваши вводные параметры для отражения возмож­ных изменений, и благодаря этому показать, когда рыночная система прекратит хорошо работать. Еще раз повторюсь: параметрические методы намного мощнее эмпирических.