РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС - Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

висит от растяжения и сжатия). Среднее геометрическое упадет до 1,0027, сред­няя геометрическая сделка уменьшится до 83,02 доллара, a TWR за 232 сделки бу­дет равно 1,869. Такие изменения вызваны уменьшением средней сделки на 50% и увеличением стандартного отклонения на 60%, что вполне может произойти на практике. Также возможно, что будущее будет более благоприятно, чем прошлое. Мы можем проанализировать другую ситуацию. Допустим, мы хотим посмот­реть, что произойдет, если наша средняя прибыль увеличится на 10%. Для этого следует ввести значение сжатия 1,1. Параметры «что если», растяжение и сжатие, крайне важны в управлении капиталом.

Чем ближе ваше распределение торговых P&L к нормальному, тем лучше бу­дет работать метод. Проблема почти всех методов управления деньгами состоит в том, что следует учитывать определенный «коэффициент ухудшения». Здесь ухудшение — это разница между нормальным распределением и распределени­ем, которое вы реально получаете. Разница между ними и есть коэффициент ухудшения, и чем больше этот коэффициент, тем менее эффективным стано­вится метод.

С помощью вышеописанного метода мы определили, что торговля 1 контрак­том на каждые 6585,44 доллара на балансе счета оптимальна. Однако если бы мы совершили эти сделки на практике и определили оптимальное f эмпирически, то оптимальным был бы 1 контракт на каждые 7918,04 доллара на балансе счета. Как можно видеть, использование нормального распределения сместило нас слегка вправо вдоль кривой f и привело к торговле несколько большим числом контрак­тов, чем предлагает эмпирический метод.

Однако, как мы увидим позже, многое говорит в пользу того, что будущее рас­пределение цен будет нормальным. Когда мы покупаем или продаем опцион, предположение, что будущее распределение изменений цены базового инстру­мента будет нормальным, уже заложено в цену опциона. Точно так же можно ска­зать, что трейдеры, не использующие механические системы, получат в будущем результаты, которые нормально распределены.

В методе, описанном в этой главе, используются неприведенные данные. При использовании приведенных данных метод будет выглядеть следующим образом:

1. До того как данные нормированы, их следует привести к текущим ценам пу­тем преобразования всех торговых прибылей и убытков в процентные при­были и убытки с помощью уравнений с (2.10а) по (2.10в). Затем эти процент­ные прибыли и убытки следует умножить на текущую цену

2. Когда вы перейдете к нормированию этих данных, нормируйте приведен­ные данные, используя среднее и стандартное отклонение приведенных данных.

3. Далее, определите оптимальное f, среднее геометрическое и TWR. Средняя геометрическая сделка, средняя арифметическая сделка и порог геометри­ческой торговли справедливы только для текущей цены базового инструмента. Когда цена базового инструмента изменяется, процедура должна быть проведена заново. Когда вы перейдете к повторному проведению про­цедуры с другой ценой базового инструмента, вы получите то же оптималь­ное f, среднее геометрическое и TWR. Однако средняя арифметическая сделка, средняя геометрическая сделка и порог геометрической торговли будут другими в зависимости от новой цены базового инструмента.

4. Количество контрактов для торговли, рассчитываемое с помощью уравне­ния (3.34), соответствующим образом изменится. P&L наихудшего случая, переменная W, используемая в уравнении (3.34), также изменится.

Из этой главы, мы узнали, как найти оптимальное f по распределению вероятности. Мы использовали нормальное распределение, так как оно описывает многие есте­ственно происходящие процессы. Кроме того, с ним легче работать, чем со многими другими распределениями, так как можно рассчитать интеграл функции нормально­го распределения с помощью уравнения (3.21) [16] Интеграл функции, описывающей нормальное распределение, в действительности нельзя точно рассчитать, но его можно получить с большой степенью точности с помощью уравнения (3.21), чего нельзя сказать о многих других распределениях . Однако нормальное распределение за­частую является неполной моделью для распределения торговых прибылей и убытков. Какая модель будет приемлемой для наших целей? В следующей главе мы ответим на этот вопрос и будем полагаться на методы из главы 3 при работе с любым видом рас­пределения вероятности независимо от того, существует интеграл функции распре­деления или нет.

Глава 4

Параметрические методы для других распределений

Из предыдущей главы мы узнали, как найти оптимальное f и его побочные продукты при нормальном распределении. Тот же ме­тод применим к любому другому распределению, где известна функция распределения вероятности (то есть интеграл плотно­сти распределения вероятности). О многих известных распреде­лениях и об их функциях распределения вероятности рассказано в приложении В.

К сожалению, большинство распределений торговых P&L плохо описываются функциями нормального и других распределений. В этой главе мы сначала обратимся к проблеме неопределенной природы распределения торговых P&L и далее изучим метод планирования сценария — естественное продолжение идеи оп­тимального/. Этот метод широко применяется и позволяет находить оптимальное f по ячеистым распределениям. Далее мы перейдем к следующей главе, посвященной опционам и одновре­менной торговле по нескольким позициям. Прежде чем смоделировать реальное распределение торговых P&L, мы должны найти метод сравнения двух распределений.

Тест Колмогорова-Смирнова (К-С)

Хи-квадрат тест, без сомнения, является наиболее популярным из всех методов сравнения двух распределений. Так как многие ориентированные на рынок при­ложения, помимо рассматриваемых в этой главе, часто используют хи-квадрат тест, то он описан в Приложении А. Однако для наших целей наилучшим методом будет тест К-С. Этот очень эффективный тест применим к неячеистым распреде­лениям, которые являются функцией одной независимой переменной (в нашем случае, прибыль за одну сделку).

Все функции распределения вероятности имеют минимальное значение 0 и мак­симальное значение 1. То, как они ведут себя между ними, и отличает их. Тест К-С измеряет очень простую переменную D, которая определяется как максимальное аб­солютное значение разности между двумя функциями распределения вероятности. Тест К-С достаточно прост. N объектов (в нашем случае сделок) нормируются (вычитается среднее значение, и полученная разность делится на стандартное от­клонение) и сортируются в порядке возрастания. Когда мы проходим эти отсор­тированные и нормированные сделки, накопленная вероятность рассматривае­мого количества сделок делится на N. Когда мы берем первую сделку в отсортиро­ванной последовательности с наименьшим стандартным значением, функция распределения вероятности (cumulative density function, далее — ФРВ) равна 1/N. Для каждого стандартного значения, которое мы проходим, приближаясь к наи­большему стандартному значению, к числителю прибавляется единица. В конце последовательности наша ФРВ будет равна N/N, или 1. Для каждого стандартного значения мы можем рассчитать теоретическое рас­пределение. Таким образом, мы можем сравнить фактическую функцию распре­деления вероятности с любой теоретической функцией распределения вероятно­сти. Переменная D, или статистика К-С (К-С statistic), равна наибольшему рас­стоянию между значением нашей фактической функции распределения вероятности и значением теоретического распределения ФРВ при этом же стан­дартном значении. При сравнении фактической ФРВ для данного стандартного значения с теоре­тической ФРВ для этого же стандартного значения мы должны также сравнить теоретическую ФРВ предыдущего стандартного значения с фактической ФРВ те­кущего стандартного значения.