РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС - Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

1. Для данного стандартного значения Х рассчитайте его соответствующее N'(X) с помощью уравнения (4.06).

2. Для каждого стандартного значения Х рассчитайте накопленную сумму зна­чений N'(X), соответствующих всем предыдущим X.

3. Теперь, чтобы найти N(X), т.е. итоговую вероятность для данного X, прибавьте текущую сумму, соответствующую значению X, к текущей сумме, соответствующей предыдущему значению X. Разделите полу­ченную величину на 2. Затем разделите полученное частное на общую сумму всех N'(X), т.е. последнее число в столбце текущих сумм. Это но­вое частное является ассоциированной 1-хвостой вероятностью для данного X.

Так как теперь у нас есть метод поиска ассоциированных вероятностей для стан­дартных значений Х при данном наборе значений параметров, мы можем найти оптимальное f. Процедура в точности совпадает с той, которая применяется для поиска оптимального f при нормальном распределении. Единственное отличие состоит в том, что мы рассчитываем столбец ассоциированных вероятностей дру­гим способом. В нашем примере с 232 сделками значения параметров, которые получа­ются при самом низком значении статистики К-С, составляют 0,02, 2,76, О и 1,78 для LOC, SCALE, SKEW и KURT соответственно. Мы получили эти значения параметров, используя процедуру оптимизации, описанную в дан­ной главе. Статистика К-С == 0,0835529 (это означает, что в своей наихудшей точке два распределения удалены на 8,35529%) при уровне значимости 7,8384%. Рисунок 4-10 показывает функцию распределения для тех значений параметров, которые наилучшим образом подходят для наших 232 сделок. Если мы возьмем полученные параметры и найдем оптимальное f по это­му распределению, ограничивая распределение +3 и -3 сигма, используя 100 равноотстоящих точек данных, то получим f= 0,206, или 1 контракт на каж­дые 23 783,17 доллара. Сравните это с эмпирическим методом, который покажет, что оптимальный рост достигается при 1 контракте на каждые 7918,04 доллара на балансе счета. Этот результат мы получаем, если ограничиваем распределение 3 сигма с каж­дой стороны от среднего. В действительности, в эмпирическом потоке сделок у нас был проигрыш наихудшего случая 2,96 сигма и выигрыш наилучшего случая 6,94 сигма. Теперь, если мы вернемся и ограничим распределение 2,96 сигма слева от среднего и 6,94 сигма справа (и на этот раз будем использовать 300 равноотсто­ящих точек данных), то получим оптимальное f = 0,954, или 1 контракт на каждые 5062,71 доллара на балансе счета. Почему оно отличается от эмпирического опти­мального f= 7918,04?

Проблема состоит в «грубости» фактического распределения. Вспомни­те, что уровень значимости наших наилучшим образом подходящих парамет­ров был только 7,8384%. Давайте возьмем распределение 232 сделок и помес­тим в 12 ячеек от -3 до +3 сигма.

Отметьте, что на хвостах распределения находятся пробелы, т.е. области, или ячейки, где нет эмпирических данных. Эти области сглаживаются, когда мы приспосабливаем наше регулируемое распределение к данным, и именно эти сглаженные области вызывают различие между параметрическим и эмпири­ческим оптимальным f. Почему же наше характеристическое распределение при всех возможностях регулировки его формы не очень хорошо приближено к фактическому распределению? Причина состоит в том, что наблюдаемое распределение имеет слишком много точек перегиба. Параболу можно направить ветвями вверх или вниз. Однако вдоль всей параболы направление вогнутости или выпуклости не изменяется. В точке перегиба направление вогнутости изменяется. Парабола имеет 0 точек перегиба,

Рисунок 4-10Регулируемое распределение для 232 сделок

Рисунок 4-11Точки перегиба колоколообразного распределения

так как направление вогнутости никогда не изменяется. Объект, имеющий форму буквы S, лежащий на боку, имеет одну точку перегиба, т.е. точку, где вогну­тость изменяется. Рисунок 4-11 показывает нормальное распределение. Отметьте, что в колоколообразной кривой, такой как нормальное распределение, есть две точ­ки перегиба. В зависимости от значения SCALE наше регулируемое распре­деление может иметь ноль точек перегиба (если SCALE очень низкое) или две точки перегиба. Причина, по которой наше регулируемое распределение не очень хорошо описывает фактическое распределение сделок, состоит в том, что реальное распределение имеет слишком много точек перегиба. Означает ли это, что полученное характеристическое распределение не­верно? Скорее всего нет. При желании мы могли бы создать функцию рас­пределения, которая имела бы больше двух точек перегиба. Такую функцию можно было бы лучше подогнать к реальному распределению. Если бы мы создали функцию распределения, которая допускает неограниченное коли­чество точек перегиба, то мы бы точно подогнали ее к наблюдаемому распре­делению. Оптимальное f, полученное с помощью такой кривой, практически совпало бы с эмпирическим. Однако чем больше точек перегиба нам при­шлось бы добавить к функции распределения, тем менее надежной она была бы (т.е. она хуже представляла бы будущие сделки). Мы не пытаемся в точности подогнать параметрическое ik наблюдаемому, а ста­раемся лишь определить, как распределяются наблюдаемые данные, чтобы можно было предсказать с большой уверенностью будущее оптимальное 1(если данные бу­дут распределены так же, как в прошлом). В регулируемом распределении, подо­гнанном к реальным сделкам, удалены ложные точки перегиба.

Поясним вышесказанное на примере. Предположим, мы используем дос­ку Галтона. Мы знаем, что асимптотически распределение шариков, падаю­щих через доску, будет нормальным. Однако мы собираемся бросить только 4 шарика. Можем ли мы ожидать, что результаты бросков 4 шариков будут рас­пределены нормально? Как насчет 5 шариков? 50 шариков? В асимптотическом смысле мы ожидаем, что наблюдаемое распределение будет ближе к нормальному при увеличении числа сделок. Подгонка теорети­ческого распределения к каждой точке перегиба наблюдаемого распределения не даст нам большую степень точности в будущем. При большом количестве сде­лок мы можем ожидать, что наблюдаемое распределение будет сходиться с ожидае­мым и многие точки перегиба будут заполнены сделками, когда их число стремится к бесконечности. Если наши теоретические параметры точно отражают распределение реальных сделок, то оптимальное f, полученное на основе теоретического распреде­ления, при будущей последовательности сделок будет точнее, чем оптимальное f, рассчитанное эмпирически из прошлых сделок. Другими словами, если наши 232 сделки представляют распределение сделок в будущем, тогда мы можем ожидать, что распределение сделок в будущем будет ближе к нашему «настроенному» теоретическому распределению, чем к наблюдаемому, с его многочисленными точками перегиба и «зашумленностью» из-за конечного количества сделок. Таким образом, мы можем ожидать, что буду­щее оптимальное f будет больше похоже на оптимальное f, полученное из теоре­тического распределения, чем на оптимальное f, полученное эмпирически из на­блюдаемого распределения.