РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС - Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

Давайте обсудим модель ценообразования фондовых опционов Блэка-Шоулса (далее Блэк-Шоулс). Модель названа в честь ее создателей: Фишера Блэка из Чикагского университета и Мирона Шоулса из M.I.T; впервые она была описана в 1973 году (May — June 1973 Journal of Political Economy). Блэк-Шоулс считается предельной формой биномиальной модели. В биномиальной модели нужно за­дать число тиков, определяющее движение вверх или вниз, прежде чем будет за­фиксировано возможное значение цены. Далее следует небольшая диаграмма, которая поясняет эту мысль.

Текущая цена на первом шаге может пойти в 2-х направлениях. На втором шаге в 4-х направлениях. В биномиальной модели для расчета справедливой цены опци­она вы должны заранее определить, сколько всего периодов использовать. Блэк-Шоулс считается предельной формой биномиальной модели, так как допускает бесконечное число периодов (в теории), то есть Блэк-Шоулс подразу­мевает, что эта небольшая диаграмма будет расширяться до бесконечности. Если вы определите справедливую цену опциона по Блэку-Шоулсу, то получите тот же ответ, что и в случае с биномиальной моделью, если число периодов, используе­мых в биномиальной модели, будет стремиться к бесконечности. (Тот факт, что Блэк-Шоулс является предельной формой биномиальной модели, подразумева­ет, что биномиальная модель появилась первой, но на самом деле сначала появи­лась именно модель Блэка-Шоулса). Справедливая стоимость фондового колл-опциона по Блэку-Шоулсу рассчи­тывается следующим образом:

а пут-опциона:

где С = справедливая стоимость колл-опциона;

Р = справедливая стоимость пут-опциона;

U = цена базового инструмента;

Е = цена исполнения опциона;

Т = доля года, оставшаяся до истечения срока исполнения выраженная десятичной дробью [19] Чаще всего только рыночные дни используются при расчете этой переменной. Число рабочих дней в году (григорианское) можно определить следующим образом: 365,2424 / 7*5= 260,8875. Из-за выходных реальное число торговых дней в году обычно состав­ляет от 250 до 252. Поэтому, если мы используем 252-дневный год и осталось 50 торговых дней до истечения срока, то доля года, выраженная десятичной дробью, т.е. Т, будет 50 / /252=0,1984126984 ;

V= годовая волатильность в процентах;

R = безрисковая ставка;

1п() = функция натурального логарифма;

N() = кумулятивная нормальная функция распределения вероятностей, задаваемая уравнением (3.21).

Для акций, по которым выплачиваются дивиденды, необходимо скорректировать переменную U и отразить текущую цену базового инструмента с учетом стоимос­ти ожидаемых дивидендов:

где Ц = ожидаемая выплата дивиденда 1;

W. = время (доля года, выраженная десятичной дробью) до выплаты L

Модель Блэка-Шоулса позволяет точно рассчитать дельту, то есть первую про­изводную цены опциона. Это мгновенная скорость изменения опциона по отно­шению к изменению U (цены базового инструмента):

(5.05) Дельта колл-опциона = N(H)

(5.06) Дельта пут-опциона = -N(-H)

Эти коэффициенты будут очень важны в Главе 7, когда мы будем рассматривать страхование портфеля.

.

Блэк сделал модель применимой к опционам на фьючерсы, механизм операций с которыми аналогичен операциям с акциями [20] При торговле фьючерсами не требуется немедленной уплаты денежных средств за базовый актив, хотя необходимо уплатить залог. Кроме того, все прибыли и убытки реализуются немедленно, даже когда позиция не ликвидирована. Эти пункты находятся в прямом противоречии с механизмом сделок по акциям. При торговле акциями покупка требует полной и немедленной оплаты, а прибыли (или убытки) не реализуются, пока позиция не ликвидирована. . Модель ценообразования опцио­нов на фьючерсы Блэка аналогична модели фондовых опционов Блэка-Шоулса за исключением переменной Н:

При использовании модели для фьючерсов коэффициент дельта рассчитыва­ется следующим образом:

(5.08) Дельта колл-опциона = EXP(-R * Т) * N(H)

(5.09) Дельта пут-опциона = -EXP(-R * Т) * N(-H)

Для примера рассмотрим опцион, который имеет цену исполнения 600. Теку­щая рыночная цена базового инструмента равна 575, а годовая волатильность составляет 25%. Мы будем использовать модель опционов на фьючерсы, 252-дневный год и безрисковую ставку 0%. Далее мы допустим, что дата истечения опциона — 15 сентября 1991 года (910915), а текущая дата — 1 августа 1991 года (910801).

Сначала рассчитаем переменную Т, а затем преобразуем 910801 и 910915 в их юлианские эквиваленты. Для этого мы должны использовать следующий алгоритм.

1. Задайте переменные 1, 2 и 3, которые будут определять год, месяц и день, соответственно. Для нашего примера — это 1991, 8 и 1.

2. Если переменная 2 меньше 3 (январь или февраль), тогда переменная 1 будет равна значению года минус 1, а переменная 2 будет равна значению месяца плюс 13.

3. Если значение переменной 2 больше, чем 2 (март или дальше), тогда переменная 2 будет равна значению месяца плюс 1.

4. Задайте переменную 4, которая будет рассчитываться следующим образом:

5. Задайте переменную 5, которая будет равна целой части произведения чис­ла 0,01 и переменной 1:

Математически:

V5=INT(0,01*V1)

6. Рассчитаем юлианскую дату:

Юлианская дата = V4 + 2 - V5 + INT(0,25 * V5) Преобразуем дату 910901 в юлианскую:

Шаг 1. VI = 1991, V2 = 8, V3 = 1.

Шаг 2. Так как наш месяц в этом примере идет за январем и февралем, то этот шаг не применяется.

Шаг 3. Так как этот месяц идет за январем и февралем, то получим:

V2 = 8 + 1 = 9. Шаг 4. Теперь найдем V4:

V4 = V3 + 1 720 995 + INT(365,25 * VI) + INT(30,6001 * V2) = 1 + 1 720 995 + INT(365,25 * 1991) + INT(30,6001 * 9) = 1 + 1 720 995 + INT(727 212,75) + INT(275,4009) =1+1720 995 + 727 212 + 275 = 2 448 483 Шаг 5. Далее найдем V5:

V5=INT(0,01*V1) =INT(0,01*1991) = INT(19,91) = 19 Шаг 6. Теперь получим юлианскую дату:

Юлианская дата = V4 + 2 - V5 + INT(0,25 * V5)

= 2 448 483 + 2 - 19 + INT(0,25 * 19) = 2 448 483 + 2 - 19 + INT(4,75) = 2 448 483 + 2 - 19 + 4 = 2 448 470

Таким образом, юлианская дата 1 августа 1991 года равна 2448470. Если мы преобра­зуем дату истечения опциона 15 сентября 1991 года в юлианскую, то получим 2448515. Если использовать 365-дневный год (или точнее 365,2425-дневный по григорианско­му календарю), то, чтобы найти время, оставшееся до истечения срока, необходимо рассчитать разность между двумя юлианскими датами, затем вычесть единицу и по­лученное значение разделить на 365 (или 365,2425). Однако мы будем использовать не 365-дневный год, а 252-дневный, чтобы учесть только те дни, когда открыта биржа (будние дни минус праздники). Про­смотрим каждый день между двумя юлианскими датами, чтобы понять, являет­ся он рабочим днем или нет. Мы можем определить, каким днем недели являет­ся юлианская дата, прибавив к ее значению единицу, разделив на 7 и взяв оста­ток. Остаток будет значением от 0 до 6, соответствуя дню недели от воскресенья до субботы. Таким образом, для 1 августа 1991 года, когда юлианская дата равна 2448470: