РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС - Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

Модель ценообразования европейских опционов для всех распределений

Мы можем создать собственную модель ценообразования, лишенную каких-либо предположений относительно распределения изменений цены.

Сначала необходимо определить термин «теоретически справедливый», отно­сящийся к цене опционов. Мы будем говорить, что опцион справедливо оценен, если арифметическое математическое ожидание цены опциона к моменту истече­ния, выраженное на основе его текущей стоимости, не принимает во внимание воз­можного направленного движения цены базового инструмента. Смысл определения таков: «Какова стоимость данного опциона для меня сегодня как для покупателя опционов»?

Математическое ожидание (арифметическое) определяется из уравнения (1.03):

где р i= вероятность выигрыша или проигрыша попытки i;

a i= выигранная или проигранная сумма попытки i;

N =количество возможных исходов (попыток).

Математическое ожидание представляет собой сумму произведений каждого воз­можного выигрыша или проигрыша и вероятности этого выигрыша или проигры­ша. Когда сумма вероятностей р iбольше 1, уравнение 1.03 необходимо разделить на сумму вероятностей р i.

Рассмотрим все дискретные изменения цены, которые имеют вероятность осуществления, большую или равную 0,001 в течение срока действия контракта, и по ним определим арифметическое математическое ожидание.

где С = справедливая с теоретической точки зрения стоимость опци­она, или арифметическое математическое ожидание;

р i= вероятность цены i по истечении срока опциона;

а i= внутренняя стоимость опциона (для кол-опциона: рыноч­ная цена инструмента минус цена исполнения опциона;

для пут-опциона: цена исполнения минус рыночная цена инструмента), соответствующая базовому инструменту при цене i.

Использование этой модели подразумевает, что, начиная с текущей цены, мы будем двигаться вверх по 1 тику, суммируя значения как в числителе, так и в зна­менателе до тех пор, пока вероятность i-ой цены (т.е. р.) не будет меньше 0,001 (вы можете использовать меньшее число, но я считаю, что 0,001 вполне доста­точно). Затем, начиная со значения, которое на 1 тик ниже текущей цены, мы будем двигаться вниз по 1 тику, суммируя значения как в числителе, так и в зна­менателе, пока вероятность i-ой цены (т.е. р i) не будет меньше 0,001. Отметьте, что вероятности, которые мы используем, являются 1-хвостыми, т.е., если веро­ятность больше чем 0,5, мы вычитаем это значение из 1. Интересно отметить, что значения вероятности р iможно менять в зависимости от того, какое распределение применяется, и оно не обязательно должно быть нормальным, то есть пользователь может получить теоретическую справедливую цену опциона для любой формы распределения! Таким образом, эта модель дает возмож­ность использовать устойчивое распределение Парето, t-распределение, распреде­ление Пуассона, собственное регулируемое распределение или любое другое рас­пределение, с которым, по нашему мнению, согласовывается цена при опреде­лении справедливой стоимости опционов.

Необходимо изменить модель таким образом, чтобы она выражала арифмети­ческое математическое ожидание на дату истечения срока опциона как следую­щую величину:

где С = справедливая с теоретической точки зрения стоимость опциона, или текущее значение арифметического математического ожида­ния при данном значении Т;

p i= вероятность цены i по истечении срока опциона;

а i=внутренняя стоимость опциона, соответствующая базовому инст­рументу при цене i;

R = текущая безрисковая ставка;

Т = доля года, оставшаяся до истечения срока исполнения, выражен­ная десятичной дробью.

Уравнение (5.11) является моделью ценообразования опционов для всех распре­делений и дает текущее значение арифметического математического ожидания опциона на дату истечения [22] Уравнение (5.11) не учитывает разницу между фондовыми опционами и товарными опционами. Согласно общепринятому подходу, в цену фондового опциона вклю­чается доход по простой бескупонной облигации, которая будет погашена в момент истечения срока опциона и номинал которой равен цене исполнения. Опционы на товарные фьючерсы, как считается, имеют процентную ставку 0. Мы же не учитываем это обстоятельство. Если ценная бумага и товар имеют абсолютно одинаковое распределение ожидаемых результатов, т.е. их арифметические мате­матические ожидания равны, то разумный инвестор выберет более дешевый ин­струмент. Эту ситуацию хорошо иллюстрирует пример, когда вы рассматриваете покупку одного из двух одинаковых домов, и один из них оценен выше только потому, что продавец платил более высокую процентную ставку по ипотечному кредиту . Отметьте, что модель можно использовать и для пут-опционов, имея в виду, что значения а. при каждом приросте цены i будут другими. Когда необходимо учесть дивиденды, используйте уравнение (5.04) для корректировки текущей цены базового инструмента. При определении вероятности цены i на дату истечения используйте именно эту измененную теку­щую цену. Далее следует пример использования уравнения (5.11). Допустим, мы обнару­жили, что приемлемой моделью, описывающей распределение логарифмов изме­нений цены товара, опционы на который мы хотим купить, является распределе­ние Стьюдента [23] Распределение Стьюдента далеко не лучшая модель, описывающая распределение изме­нений цены. Однако, так как единственным параметром, кроме волатильности (годового стандартного отклонения), который необходимо рассматривать при использовании рас­пределения Стьюдента, является число степеней свободы, а ассоциированные вероят­ности легко находятся (см. приложение В), мы будем использовать распределение Стьюдента для наглядности. . Для определения оптимального числа степеней свободы распре­деления Стьюдента мы использовали тест К-С и пришли к выводу, что наилучшее значение равно 5. Допустим, мы хотим определить справедливую цену колл-опциона на 911104 (дата истечения срока опциона — 911220). Цена базового инструмента равна 100, цена исполнения опциона также равна 100. Предположим, годовая волатильность составляет 20%, безрисковая ставка 5% и год равен 260,8875 дням (мы не учитываем праздники, которые выпадают на рабочий день, например День Бла­годарения в США). Далее допустим, что минимальный тик по этому предполага­емому товару равен 0,10. Используя уравнения (5.01), (5.02) и (5.07) для переменной Н, мы найдем, что справедливая цена равна 2,861 как для колл-опциона, так и для пут-опциона с ценой исполнения 100. Таким образом, эти цены опционов являются справедли­выми ценами в соответствии с моделью товарных опционов Блэка, которая до­пускает логарифмически нормальное распределение цен. Если мы будем исполь­зовать уравнение (5.11), то должны сначала рассчитать значения pg. Их можно по­лучить из фрагмента программы, написанной на языке Бейсик и представленной в приложении В. Отметьте, что необходимо знать стандартное значение, т.е. пере­менную Z, и число степеней свободы, т.е. переменную DEGFDM. Прежде чем мы обратимся к этой программе, преобразуем цену i в стандартное значение по сле­дующей формуле: