РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС - Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

Следующая таблица показывает шаги, необходимые для нахождения 20-дневной «годовой» исторической волатильности. Заметьте, что промежуточные шаги для определения дисперсии, которые были показаны в предыдущей таблице, сюда не включены.

торгуете без опционов и рассматриваете торговлю как не ограниченную во вре­мени, ваш реальный риск банкротства равен 1. При таких условиях вы неми­нуемо разоритесь, что вполне согласуется с уравнениями риска банкротства, поскольку в них в качестве входных переменных используются эмпирические данные, то есть входные данные в уравнениях риска банкротства основывают­ся на ограниченных наборах сделок. Утверждение о гарантированном банкрот­стве при бесконечно долгой игре с неограниченной ответственностью делает­ся с позиций параметрического подхода. Параметрический подход учитывает большие проигрышные сделки, которые расположены в левом хвосте распре­деления, но еще не произошли, поэтому они не являются частью ограничен­ного набора, используемого в качестве входных данных в уравнениях риска банкротства. Для примера представьте себе торговую систему, в которой применяется по­стоянное количество контрактов. В каждой сделке используется 1 контракт. Что­бы узнать, каким может стать баланс через Х сделок, мы просто умножим Х на среднюю сделку. Таким образом, если система имеет среднюю сделку 250 долла­ров и мы хотим знать, каким может стать баланс через 7 сделок, мы $250 умножим на 7 и получим $1750. Отметьте, что кривая арифметического математического ожидания задается линейной функцией. Любая сделка может принести убыток, который отбросит нас назад (времен­но) от ожидаемой линии. В такой ситуации есть предел проигрыша по сделке. Так как наша линия всегда выше, чем самая большая сумма, которую можно проиг­рать за сделку, мы не можем обанкротиться сразу. Однако длинная проигрышная полоса может отбросить нас достаточно далеко от этой линии, и мы не сможем продолжить торговлю, то есть обанкротимся. Вероятность подобного развития событий уменьшается с течением времени, когда линия ожидания становится выше. Уравнение риска банкротства позволяет рассчитать вероятность банкрот­ства еще до того, как мы начнем торговать по выбранной системе. Если бы мы торговали в такой системе на основе фиксированной доли счета, линия загибалась бы вверх, становясь после каждой сделки все круче. Однако проигрыш всегда сопоставим с тем, насколько высоко мы находимся на линии. Таким образом, вероятность банкротства не уменьшается с течением времени. В теории, однако, риск банкротства при торговле фиксированной долей счета мож­но сделать равным нулю, если торговать бесконечно делимыми единицами. К ре­альной торговле это не применимо. Риск банкротства при торговле фиксирован­ной долей счета всегда немного выше, чем в этой же системе при торговле на ос­нове постоянного количества контрактов. В действительности, нет верхнего предела суммы, которую вы можете проиг­рать за одну сделку; кривые состояния счета могут снизиться до нуля за одну сделку независимо от того, насколько высоко они расположены. Таким обра­зом, если мы торгуем бесконечно долгий период времени инструментом с нео­граниченной ответственностью, постоянным количеством контрактов или фиксированной долей счета, риск банкротства составляет 1. Банкротство гаран­тировано. Единственный способ избежать такого развития событий — поста­вить ограничение на максимальный проигрыш. Этого можно достичь, исполь­зуя опционы, когда позиция относится в дебет (если трейдер платит за премию больше, чем получает, то разница между уплаченной и полученной суммами на­зывается «дебет») [18] Позднее в этой главе мы увидим, что базовые инструменты идентичны колл-опционам с неограниченным сроком истечения. Поэтому, если у нас открыта длинная позиция по базовому инструменту, мы можем сказать, что проигрыш наихудшего случая является полной стоимостью инструмента. В большинстве слу­чаев проигрыш такой величины и является катастрофическим проигрышем. Корот­кая позиция по базовому инструменту аналогична короткой позиции по колл-опциону с неограниченным сроком истечения, и в такой ситуации ответственность действительно не ограничена. .

Модели ценообразования опционов

Представьте себе базовый инструмент (акция, облигация, валюта, товар и т.д.), цена которого движется вверх или вниз на 1 тик каждую последующую сделку Если мы будем измерять возможную стоимость акции через 100 тиков и рассмот­рим большое количество вариантов, то обнаружим, что полученное распределе­ние результатов — нормальное. Поведение цены в данном случае будет напоми­нать падение шарика через доску Галтона. Если рассчитать цену опциона, исходя из того принципа, что прибыль при покупке или продаже опционов должна быть равна нулю, мы получим биномиальную модель ценообразования опционов (или, коротко, биномиальную модель). Ее иногда также называют моделью Кокса-Росса-Рубинштейна в честь ее разработчиков. Такая цена опциона основывается на его ожидаемой стоимости (его арифметическом математическом ожидании), с тем расче­том, что вы не получаете прибыль, покупая или продавая опцион и удержи­вая его до истечения срока. В этом случае говорят, что опцион справедливо оценен.

Мы не будем углубляться в математику биномиальной модели, а рассмотрим модель фондовых опционов Блэка-Шоулса и модель опционов на фьючерсы Блэ-ка. Вам следует знать, что кроме вышеперечисленных трех моделей есть другие действующие модели ценообразования опционов, которые мы не будут рассмат­ривать, хотя концепции, описанные в этой главе, применимы ко всем моделям ценообразования опционов. Для более подробного изучения математической ос­новы моделей я могу порекомендовать книгу Шелдона Нейтенберга ( Volatility and Pricing Strategies by Sheldon Natenberg). Математика модели фондовых опционов Блэка-Шоулса и модели опционов на фьючерсы Блэка, которые мы будем рас­сматривать, взята из книги Нейтенберга. Тем читателям, которые желают больше узнать о концепции оптимального f и опционах, я советую прочитать фундамен­тальный труд Нейтенберга.