Кит Йейтс - Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Чтобы понять их аргументы, давайте снова представим себе, что вместо анализа ДНК мы бросаем игральный кубик, желая определить, стандартный он или шулерский, со смещенным центром тяжести. В первом случае шестерка должна выпадать один раз из шести, а на кости, у которой одна сторона тяжелее, в 50 % случаев, как нам заранее известно. Мы хотим подойти к ситуации непредвзято, поэтому еще до начала тестов допускаем, что каждый из этих сценариев одинаково вероятен.

Начнем наш тест, бросив кубик 60 раз подряд. Если кубик стандартный, то шестерка должна в среднем выпасть шесть раз. Если кубик со смещенным центром тяжести, то шестерка выпадет в среднем 30 раз. Выпадение 30 и более шестерок в ходе бросков дает нам веские основания полагать, что кубик утяжелен, поскольку такой результат в случае бросков стандартного кубика крайне маловероятен. Аналогичным образом, если шестерка выпадет 10 или меньше раз, мы будем уверены, что имеем дело со стандартной костью. Если шестерка выпадает в диапазоне от 10 до 30 раз, то мы сможем вычислить вероятность того, что этот кубик утяжелен, сравнив шанс получить такой результат с кубиком со смещенным центром тяжести с шансом получить аналогичный результат со стандартным кубиком.

Рис. 13. Результаты двух независимых серий бросков. В первом тесте шестерка выпала 21 раз из 60, а во втором – только 20 раз. Кажется, что второй тест подрывает результат первого

Во время теста мы фиксируем результаты бросков – итог показан в верхней половине рисунка 13: шестерка выпала всего 21 раз. Вероятность такого результата при бросках стандартного кубика невелика – всего 0,000297. С кубиком со смещенным центром тяжести вероятность получить 21 шестерку тоже довольно мала – 0,00693, но она все же в 20 с лишним раз выше, чем со стандартным кубиком. 21 шестерка скорее выпадет при бросках утяжеленного, чем стандартного кубика. Мы можем найти общую вероятность выпадения 21 шестерки в обоих сценариях, сложив соответствующие вероятности и получив 0,00722. Доля этой вероятности, которую обеспечивает утяжеленная игральная кость, составляет 0,00693/0,00722, что дает 0,96. Таким образом, вероятность, что мы бросали утяжеленный кубик, равна 96 %. Достаточно убедительно, но, возможно, этого не хватит для того, чтобы осудить убийцу.

Табл. 9. Вероятность выпадения разного количества шестерок в каждом из тестов со стандартными костями (столбец 1) и костями со смещенным центром тяжести (столбец 2). Общая вероятность для обоих сценариев (столбец 3) и вероятность того, что у кубика смещен центр тяжести (столбец 4)

Для верности проведем второй тест, бросив кубик еще 60 раз. На этот раз, как показано в нижней половине рисунка 13, выпало только 20 шестерок. Как видно из таблицы 9, вероятность получить такой результат со стандартным кубиком составляет 0,000780, а со смещенным центром тяжести – 0,00364, что примерно в пять раз выше. Хотя это и не сильно отличается от результатов первого теста, но тот же расчет дает чуть менее убедительные 82-процентные шансы на то, что кубик утяжелен. Похоже, второй тест поставил под сомнение результаты первого. Во всяком случае, второй тест никоим образом не позволяет нам без сомнений убедиться, что мы имеем дело с шулерским кубиком.

Однако при объединении результатов, как показано на рис. 14, мы сможем проанализировать уже 120 бросков кубика. Если кубик стандартный, то при 120 бросках шестерка в среднем должна выпадать 20 раз. Но она выпала 41 раз. Вероятность такого результата в серии из 120 бросков для стандартного кубика составляет всего 0,00000155; а вот вероятность получить такой результат с кубиком со смещенным центром тяжести в 100 с лишним раз выше. Она составляет 0,000168. Итого, с учетом количества выпавших шестерок вероятность, что мы имеем дело с шулерским кубиком, превышает 99 %.

Рис. 14. При объединении результатов тестов мы получаем 41 шестерку при 120 бросках. Это говорит о высочайшей вероятности того, что кубик шулерский

Как ни странно, сочетание двух не самых убедительных проверок дает гораздо более надежный результат, чем любой из этих тестов по отдельности. Аналогичный метод часто используется в научной практике систематических обзоров. Систематические обзоры в медицине, например, анализируют несколько клинических тестов, каждый из которых сам по себе не содержит исчерпывающей оценки эффективности того или иного вида лечения из-за немногочисленности тестируемых. Однако при объединении результатов нескольких независимых исследований часто можно сделать статистически значимые выводы о степени эффективности медицинского вмешательства. Пожалуй, наиболее известным применением систематических обзоров является анализ альтернативных лекарственных средств (в следующей главе мы покажем, что мнимые положительные эффекты от их применения зачастую вызваны математическими артефактами [105] Математический артефакт – ложный результат, получаемый при заведомо некорректной методике расчета или вследствие непредсказуемых (или неверно интерпретированных) совпадений. – Прим. пер. ), крупномасштабные клинические испытания которых финансируются скудно. Объединив результаты нескольких, казалось бы, неоднозначных тестов, систематические обзоры опровергали такие альтернативные методы лечения, как клюквенная терапия инфекций мочевыводящих путей [106] Jepson, R. G., Williams, G., & Craig, J. C. (2012). Cranberries for preventing urinary tract infections. Cochrane Database of Systematic Reviews, (10). https://doi.org/10.1002/14651858.CD001321.pub5 или использование витамина С для предотвращения простуды [107] Hemila, H., Chalker, E., & Douglas, B. (2007). Vitamin C for preventing and treating the common cold. Cochrane Database of Systematic Reviews, (3). https://doi.org/10.1002/14651858.CD000980.pub3 .

Утверждая, что сочетание пары потенциально неоднозначных ДНК-тестов могло бы дать более убедительные доказательства связи между ДНК Керчер и ножом на кухне Соллесито, Шнепс и Колмез исходят из той же логики. Решение судьи Хеллмана лишило суд возможности рассмотреть эти свидетельства, отняв таким образом у мира возможность понять, какое влияние они могли бы оказать на исход судебного разбирательства.

Астрономически малые вероятности, которые можно рассчитать на основе полного образца ДНК, кажутся очень убедительными статистическими данными, но нельзя позволять, чтобы эти очень большие или очень малые числа затуманивали наш рассудок в зале суда. Необходимо скрупулезно учитывать обстоятельства, при которых эти расчеты велись, и помнить, что простое упоминание крайне малого числа само по себе – вне контекста и без правильной интерпретации – не доказывает вину или невиновность подозреваемого.