Кит Йейтс - Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Чтобы объяснить проблемы, возникающие вследствие ошибки прокурора, давайте представим, что мы расследуем преступление. Единственное доказательство, которое у нас есть, – это часть регистрационного номера автомобиля, принадлежащего – возможно – преступнику, которого видели уезжающим с места преступления. Для целей нашего расследования примем, что все номера автомобилей состоят из семи цифр в диапазоне от 0 до 9. Каждая из цифр этого диапазона может оказаться на любой позиции в номере автомобиля, что дает всего 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10, то есть 10 7, или 10 миллионов) таких номерных знаков. Очевидец, сообщивший о номере автомобиля, запомнил первые пять цифр в нем, но не смог разобрать последние две. Зная эти первые пять цифр, мы можем сузить круг поиска, поскольку нам придется выбирать из гораздо меньшего количества автомобилей. Для каждой из этих двух неизвестных цифр существует десять вариантов, что дает всего 100 (10 × 10) возможных номеров с известными первыми пятью цифрами.

Найден подозреваемый, первые пять цифр номерного знака машины которого совпадают с пятью цифрами, которые запомнил свидетель. Если подозреваемый невиновен, то из десяти миллионов автомобилей остаются лишь 99 тех, первые пять цифр номера которых совпадают с нужной нам комбинацией. Таким образом, вероятность, что замеченный свидетелем номерной знак принадлежал невиновному, составляет 99/10 000 000 (чуть меньше ста к десяти миллионам), то есть меньше одного к ста тысячам (1/100 000). Такая низкая вероятность того, что свидетель увидел бы именно этот номерной знак, если подозреваемый невиновен, в подавляющем большинстве случаев свидетельствует о виновности подозреваемого. Однако, приняв этот довод, мы совершаем ошибку прокурора.

Вероятность того, что найденная улика (увиденный набор цифр номера) указывает все же на невиновного человека, не равна вероятности того, что подозреваемый невиновен, несмотря на имеющиеся против него свидетельства (тот самый набор цифр). Напомним, что 99 из 100 автомобилей, которые соответствуют описанию свидетеля, не принадлежат подозреваемому. Подозреваемый – всего лишь 1 из 100 человек, которые ездят на такой машине. Таким образом, вероятность вины подозреваемого, учитывая его номерной знак, составляет всего 1/100, что совсем немного. Разумеется, наличие других улик, связывающих подозреваемого с районом преступления или исключающих другие автомобили из рассмотрения, повысит вероятность его вины. Однако, исходя из одного-единственного доказательства, наиболее вероятный вывод должен состоять в том, что подозреваемый невиновен.

Ошибка прокурора эффективна только тогда, когда шансы на признание невиновности крайне малы, в противном случае некорректная логика легко опровергается. Например, представьте себе расследование кражи со взломом в Лондоне. Группа крови подозреваемого соответствует группе крови преступника, обнаруженной на месте преступления, но других улик не имеется. Такую группу крови имеет лишь 10 % населения. Таким образом, вероятность найти кровь этой группы на месте преступления, если обвиняемый невиновен (то есть преступление совершил кто-то другой с той же группой крови), составляет 10 %. Ошибкой прокурора в данном случае является вывод, что в свете «доказательств крови» вероятность невиновности подозреваемого также составляет лишь 10 % – иными словами, что вероятность вины составляет 90 %. Очевидно, в десятимиллионном Лондоне примерно миллион других людей (10 % от общего числа населения) с той же группой крови, что найдена на месте преступления. Получается, что вероятность вины подозреваемого, определяемая исключительно на основании «кровавых улик», составляет буквально один на миллион. Несмотря на то, что обладатели этой группы крови встречаются достаточно редко (ее имеет лишь каждый десятый), общее количество людей с такой группой крови настолько велико, что улика сама по себе очень мало говорит о виновности или невиновности подозреваемого, чья группа крови совпадает с группой найденной.

В приведенном выше примере ошибка была достаточно очевидной. Определять вероятность невиновности в столь низкую величину в 10 %, руководствуясь исключительно распределением групп крови в большой популяции, абсурдно. Однако в случае с Салли Кларк цифры были достаточно малы, чтобы присяжные, не обученные статистическим хитростям, не заподозрили ошибки. Вполне вероятно, Мидоу и сам не понимал, что совершает ошибку, заявляя, что «…шансы на естественную смерть детей в этих обстоятельствах очень, очень невелики – 1 на 73 миллиона».

Такое заявление могло подтолкнуть несведущих в статистике присяжных примерно к такому выводу: «Смерть двух младенцев от естественных причин чрезвычайно редка; следовательно, вероятность того, что причина смерти двух младенцев в этой семье была неестественной, чрезвычайно высока».

Мидоу усугубил это заблуждение, поместив соотношение «1 к 73 миллионам» в очень яркий, но крайне сомнительный контекст. Он утверждал, что шансы на вторую подряд смерть от СВДС в одной семье равны шансам выиграть четыре раза подряд на скачках Grand National на аутсайдере с коэффициентом 80 к 1. Это сделало шанс на признание невиновности в двух детских смертях очень маловероятным, и присяжным осталось заключить, что Салли, скорее всего, убила двух своих детей.

Смерть двух детей от СВДС подряд крайне маловероятна. Однако само по себе это не дает полезной информации о том, насколько вероятно, что Салли убила своих детей. Более того, трактовка стороны обвинения представляется еще менее вероятной. Двойное убийство младенцев фиксируется от 10 до 100 раз реже, чем две смерти подряд от СВДС [100] Dawid, A. P. (2005). Bayes’s theorem and weighing evidence by juries. In Richard Swinburne (ed.), Bayes’s Theorem. British Academy. https://doi.org/10.5871/bacad/9780197263419.003.0004 Hill, R. (2004). Multiple sudden infant deaths – coincidence or beyond coincidence? Paediatric and Perinatal Epidemiology, 18 (5), 320–26. https://doi.org/10.1111/j.1365–3016.2004.00560.x . С учетом этих данных вероятность вины Салли составляет всего 1 из 100 даже до рассмотрения любых других смягчающих обстоятельств. Однако присяжным не сообщили данные о том, насколько часто происходят двойные убийства младенцев – так что они не могли сравнивать. Защита Салли даже не попыталась оспорить статистические выкладки Мидоу.

После двухдневного обсуждения 9 ноября 1999 года присяжные признали Салли виновной, осудив ее большинством в 10 голосов против 2. Сообщалось, что один из присяжных признался другу, что на их решение наибольшее влияние оказала статистика Мидоу. Салли была приговорена к пожизненному заключению. После оглашения приговора Салли оглянулась на мужа, а тот едва слышно произнес: «Я люблю тебя». Он был ее главным защитником, он не переставал бороться за нее все время ее заключения, которое она назвала «адом на земле». Когда ее уводили, она оглядела присутственный зал и тихо ответила ему: «Я люблю тебя».