Микаэль Лонэ - Теорема зонтика, или Искусство правильно смотреть на мир через призму математики

Закон Бенфорда несложно понять, но его объяснение не уложить в несколько строк. Математика, которая скрывается за ним, проста, но глубока. Это не загадка, решение которой неожиданно приходит в голову, и мы восклицаем: «Ах! Вот, в чем дело, я понял!» Нам придется поменять наше понимание природы чисел и сам подход к счету. Если закон Бенфорда не кажется нам очевидным, то это потому, что мы неправильно думаем. Нам придется научиться по-другому смотреть на то, что нам кажется таким знакомым. Нам придется снова ставить под сомнения свои суждения.

Из экскурсии по миру, который только что нам открыл Фрэнк Бенфорд, мы вернемся другими. Его закон изменит вас. И когда вы его поймете, вы будете думать совсем иначе.

Повседневность часто намекает, что мы плохо управляемся с числами. Что с нами – или с ними – что-то не так.

У меня есть небольшая история на эту тему.

Несколько лет назад на вечеринке, которую мы с друзьями посвятили играм, кому-то пришла в голову идея устроить научную викторину. Мы разбились на две команды и отвечали на вопросы из разных сфер: от математики и геологии до биологии и информатики. На каждый вопрос команда должна была дать приблизительный ответ в численном выражении, и та, чей ответ был ближе всего к верному, зарабатывала очко. Правило казалось довольно простым и ясным. И все же после нескольких раундов вопрос из области астрономии вызвал неожиданный спор.

Нас спросили, каково расстояние между Землей и Луной.

В нашей команде никто не знал точного ответа, но, поразмыслив, мы ответили, что оно составляет 800 000 км. В команде противника переговоры оказались куда более напряженными, но в конце концов они объявили свой ответ: 10 км!

Очевидно, в этой команде в астрономии разбирались еще хуже, чем в нашей. Высочайшая вершина Земли, гора Эверест, достигает в высоту почти 9 км. Если бы Луна находилась всего в 10 км от Земли, чтобы коснуться нашего спутника, достаточно было бы подняться на гору. Абсурдный ответ. Еще одно очко, казалось мне, у нас в кармане.

Тем не менее правильный ответ нас озадачил. Луна на самом деле находится на расстоянии 384 000 км от Земли. Таким образом, простое вычитание показало нам, что мы ошиблись на 416 000 км, в то время как команда противника ошиблась только на 383 990 км.

Я моргнул и посчитал еще раз. Ошибки не было. Признаться, я даже нацарапал небольшую схему на бумажной салфетке, чтобы окончательно убедиться.

Сомнений не было: их ответ был ближе к правильному, чем наш. Они победили. Несколько минут я пересчитывал и прокручивал расчет в голове, но ничего не поделаешь. Математика была категорична.

Но все же, вам не кажется, что эта ситуация несправедлива? Да, возможно я выгляжу, как человек, который не умеет проигрывать, но вы не думаете, что, несмотря на результат, наш ответ был более разумным, более продуманным и, в некотором смысле, менее неправильным, чем у другой команды?

Но почему в таком случае математика говорит об обратном? Почему расчеты показывают, что почти абсурдный ответ ближе к истине?

Или стоит задать вопрос немного по-другому: правильно ли мы понимаем математику, которой пользуемся? Математика не ошибается, но люди, которым она служит, иногда могут использовать ее ненадлежащим образом.

Если немного подумать, то можно представить множество подобных ситуаций. Рост кошки в среднем составляет 25 см, а лабрадора – 60 см. Некоторые бактерии достигают в длину одну тысячную миллиметра. Таким образом, можно утверждать, что по размеру кошка ближе к бактериям, чем к лабрадору. Разница в росте между кошкой и бактериями составляет около 25 см, а между кошкой и собакой – 35 см.

Но это заключение, к которому нас подводят числа, снова противоречит нашему естественному восприятию реальности. Кошка и собака принадлежат к одному миру. Они могут играть вместе или, по крайней мере, взаимодействовать. Они видят друг друга, чувствуют друг друга, они знают, что оба существуют. Но кошка, если, конечно, она не изучала науку, понятия не имеет о существовании бактерий. Они не являются частью ее мира, они настолько малы, что их невозможно ни увидеть, ни даже вообразить.

Можно привести еще несколько похожих примеров, которые кажутся интуитивно нелогичными, но все же математически точными. Температура на поверхности Солнца ближе к 5 °C, чем к 15 000 °C. Население Парижа ближе к населению деревни с 12 жителями, чем к населению Нью-Йорка. Если вы взвесите планету Марс, то обнаружите, что ее масса ближе к массе мячика для пинг-понга, чем к массе Земли.

Как и в случае с законом Бенфорда, эти ситуации ставят нас в логический тупик только потому, что мы думаем неверно. Потому что мы используем математический инструментарий, который плохо понимаем, в контексте, в котором он неуместен.

Как же тогда воплотить эти интуитивные размышления в математике? Ответ можно найти в тонком понятии порядка величины.

Сама идея простая, но невероятно мощная. Думать посредством порядка величины – значит думать с помощью умножения, а не сложения.

Если вы хотите сравнить числа 2 и 10, вы можете сделать это двумя разными способами. Путем сложения: сколько нужно добавить к 2, чтобы получить 10? В таком случае ответ 8. Или путем умножения: на сколько нужно умножить 2, чтобы получить 10? Тогда ответ равен 5. В первом случае разница между двумя числами получается путем вычитания: 10 ÷ 2 = 8. Во втором – деления: 10 ч 2 = 5.

Сказать, что два числа имеют одинаковый порядок величины, значит сказать, что они близки с точки зрения умножения.

Несмотря на то, что на первый взгляд эта идея кажется довольно странной, любой, кто начинает мыслить мультипликативно, то есть посредством умножения, быстро понимает, насколько этот подход лучше соответствует нашей интуиции.

Вернемся к нашей научной викторине. Вот как я мог бы отстоять нашу победу в игре, если бы тогда мыслил здраво. Луна находится на расстоянии 384 000 километров от Земли, а наша команда ответила, что на расстоянии 800 000 км, то есть примерно в два раза дальше. Если мы поделим числа, то окажется, что наш ответ был в 2,08 раза больше верного. Наши противники ответили, что расстояние составляет 10 км, то есть в 38 400 раз меньше правильного ответа! С этой точки зрения мы действительно победили. Более того, этот результат гораздо лучше соответствует нашему интуитивному восприятию мира.