Микаэль Лонэ - Теорема зонтика, или Искусство правильно смотреть на мир через призму математики

Такой подход сработает и со всеми остальными примерами. Если считать мультипликативно, то размер кошки ближе к размеру собаки, чем к размеру бактерии, масса Марса ближе к массе Земли, чем к массе мячика для пинг-понга, население Парижа ближе к населению Нью-Йорка, чем к населению маленькой деревни, и так далее.

Когда мы сравниваем два числа, независимо от контекста, в котором происходит это сравнение, чаще всего мы интуитивно прибегаем к мультипликативному мышлению. Если в вашем супермаркете товар стоимостью 200 евро подорожает на 8 евро, то, несомненно, это подорожание вас расстроит, но гораздо меньше, чем если бы на те же 8 евро подорожал товар стоимостью 2 евро. В таком случае цена увеличивается до 10 евро, то есть в 5 раз! Расстроиться – это мягко сказано. И это при том, что номинально цены выросли на одну и ту же величину.

Таким подходом к сравнению мы обязаны не только работе интеллекта. Это не уникальное свойство мышления, он естественен для нас и моделирует большинство наших взаимодействий с миром. Наше чувственное восприятие окружающего мира тоже мультипликативно.

Если я завяжу вам глаза и вложу в одну руку предмет весом 10 г, а в другую – весом 20 г, вы сразу же поймете, какой из них тяжелее. Но различить «на ощупь» предметы весом 10 кг и 10 кг и 10 г куда сложнее. Однако разница в парах одинаковая: 10 г. Или, точнее, разница одинаковая с точки зрения сложения, или аддитивности, потому что с точки зрения умножения она вопиющая: 20 г в два раза тяжелее, чем 10 г. Во втором же случае разница между двумя массами составляет всего 0,1 %.

То же можно сказать и про наше зрение. Вы когда-нибудь пробовали включить свет средь бела дня? Если солнце уже заливает комнату, это почти ничего не меняет. Яркость кажется одинаковой независимо от того, светит лампочка или нет. Но если вы включите свет ночью, то ясно увидите, как он освещает самые темные уголки, которые мгновение назад терялись в полумраке.

Тем не менее днем лампочка излучает не меньше света, чем ночью. То есть с точки зрения сложения яркость одинакова в обеих ситуациях. Но наши глаза воспринимают эту яркость иначе – относительно, то есть мультипликативно. При дневном свете яркость лампочки незначительна по сравнению с яркостью Солнца. Ночью же все меняется – она правит бал.

Это справедливо и для остальных органов чувств: осязания, зрения, вкуса, слуха, обоняния. Подумайте хотя бы о том, как вы воспринимаете течение времени, преодоленное расстояние, и, что более субъективно, интенсивность эмоций, которые испытываете. Все эти чувства гораздо проще поддаются пониманию, когда вы начинаете думать о них мультипликативно, а не аддитивно.

Чтобы проверить ваше чувство чисел, я предлагаю вам небольшой эксперимент. Посмотрите на этот отрезок, на котором размещены два числа: тысяча и миллиард.

Теперь постарайтесь без раздумий, инстинктивно ответить на следующий вопрос: где на этом отрезке вы отметите миллион? Не бойтесь ошибиться, правильным будет любой ответ – важно узнать, как работает ваша интуиция с большими числами.

Итак, вы указали на отрезке точку, где, по вашему мнению, находится миллион. Давайте посмотрим, о чем нам это скажет.

Вероятнее всего, в поисках ответа ваш мыслительный процесс развивался поэтапно. Как только вы ознакомились с вопросом, ваш мозг интуитивно выдал ответ. Грубо и без анализа. Затем настал черед более сложных умозаключений. Вы вспомнили все, что знаете о числах тысяча, миллион и миллиард, и выбранная вами точка немного переместилась на отрезке. Или даже сильно переместилась. Влево или вправо? Вероятно, вы также приняли во внимание то, о чем мы говорили ранее. Возможно, вам показалось, что вопрос сформулирован не очень точно, что в нем есть какой-то подвох. Вы ответили на вопрос с точки зрения аддитивности или мультипликативности? Это что-то меняет в данном случае?

Каждый ответит на этот вопрос по-своему, но одна реакция будет превалировать – сначала представить миллион примерно на середине отрезка. Или немного левее середины, потому что заключить, что миллион ближе к тысяче, чем к миллиарду, можно достаточно быстро. Но по мере дальнейших размышлений над вопросом точка на отрезке будет смещаться левее, все ближе к тысяче.

Так в чем же дело? Прозвучит неожиданно, но миллион находится совсем рядом с тысячей. В заданном масштабе невооруженным глазом их даже не различить, и оба числа будут располагаться практически там же, где и ноль, если добавить на наш отрезок и его.

Конечно, в абсолютном выражении миллион – это большое число, но миллиард все же в тысячу раз больше! В таких масштабах даже миллион – это совсем немного. Если бы вы стояли в точке ноля, а миллиард находился в километре от вас, то миллион был бы от вас всего в одном метре, а тысяча – в одном миллиметре. А если взглянуть издалека, то покажется, что ноль, тысяча и миллион расположены в одной точке.

Тем не менее, как и в случае с расстоянием до Луны, математический вердикт интуитивно сложно принять. Если записать числа цифрами, миллион займет свою законную позицию посередине между тысячей и миллиардом.

Тысяча: 1000

Миллион: 1 000 000

Миллиард: 1 000 000 000

В миллионе на три нуля больше, чем в тысяче, и на три меньше, чем в миллиарде. Визуально, если мы уделяем внимание не самой величине числа, а длине его написания, у нас возникает откровенный соблазн поместить миллион в середину. Сама природа нашей системы счисления, как правило, заставляет нас думать мультипликативно. Визуальное впечатление было бы совсем иным, если бы эти числа записали римскими цифрами или если бы мы начертили палочки. В нашей системе единиц, десятков, сотен и т. д. добавление нуля приводит к тому, что представленное число умножается на десять, внося путаницу между сложением и умножением.

Таким образом, если мы расставим числа на отрезке, в соответствии с мультипликативным подходом, миллион будет точно посередине. И слева, и справа мультипликативный разрыв между числами будет равен тысяче.

Странно, что этот феномен не наблюдается, когда речь идет о не таких больших числах. Если бы я попросил вас разместить число 50 на отрезке от 1 до 100, вы без малейших колебаний поместили бы его посередине.