Микаэль Лонэ - Теорема зонтика, или Искусство правильно смотреть на мир через призму математики

Надо заметить, что слова французского языка передают конфликт между аддитивным и мультипликативным.

У первых десятков есть свое название: двадцать, тридцать, сорок… Разница между названиями аддитивна. На каждом шаге мы прибавляем десять.

До 100 язык аддитивный.

Когда мы перевалим за 100, в дело вступает умножение. Для обозначения 200 или 300 отдельных слов нет. Мы просто говорим «две сотни» или «три сотни» [6] Во французском языке 200 и 300 буквально обозначаются как «два-сто» и «три-сто». – Прим. перев. . Как если бы мы говорили «два-десять» и «три-десять» вместо «двадцать» и «тридцать». Далее слова образуются с мультипликативной скоростью: тысяча, миллион, миллиард, триллион, квадриллион… Каждый из этих терминов в тысячу раз больше предыдущего.

Если бы мы поместили эти числа на отрезок и считали аддитивно, все они стремились бы к нулю и выглядели бы крошечными по сравнению с последним числом. Миллиард ничтожен по сравнению с триллионом, который сам по себе смехотворно мал по сравнению с квадриллионом, и так далее.

Школьная математика практически не обращает внимания на этот словарный переход от сложения к умножению. Однако он сильнейшим образом влияет на наш образ мышления. Наше восприятие чисел не является ни врожденным, ни объективным. Оно накрепко связано с тем, как мы изучали математику.

Впрочем, давайте ненадолго забудем о наших знаниях и культурных предубеждениях и вернемся к изначальному восприятию чисел. Как бы мы мыслили, если бы с детства не сталкивались со школьной математикой?

Это можно попытаться выяснить у людей, которых эти знания обошли стороной. Например, у детей, еще слишком маленьких, чтобы углубиться в изучение чисел. Или у туземцев, чье отношение к числам, свободное от условностей и предвзятостей цивилизации, сильно отличается от нашего.

В 2000-х годах исследовательские группы проводили различные эксперименты, чтобы ответить на эти вопросы. Маленьким детям из Соединенных Штатов, а также представителям народа мундуруку, живущего в лесах Амазонии на севере Бразилии, предложили выполнить тесты, очень похожие на те, которые я вам продемонстрировал. В языке этого индейского народа нет слов для обозначения чисел больше пяти – их восприятие величин радикально отличается от нашего.

Испытуемым показывали отрезки, концы которого соответствовали двум числам. А затем их просили разместить на этом отрезке другие числа. Конечно, числа должны были быть представлены в форме, понятной людям, которые никогда не изучали математику. Эти тесты проводились в разных форматах: например, визуально – с изображениями, содержащими несколько точек, – или на слух, при помощи звуковых сигналов. Перед началом теста испытуемым тщательно объясняли правила.

Полученные результаты последовательны и однозначны: дети и мундуруку интуитивно воспринимают числа скорее мультипликативно, чем аддитивно. Вот, например, как индейцы разместили числа на отрезке от 1 до 10.

Конечно, этот тест не идеален. Он слишком интуитивен, а точно оценить значение сразу нескольких показателей навскидку совсем не просто. Так, мы видим, что число 5 на шкале в среднем располагали за числом 6! Но важно не это. Важно отметить, как широко расставлены малые числа, в то время как бо́льшие громоздятся друг на друге в конце отрезка. Как будто небольшие числа, такие как 1 и 2, имеют большее значение, чем такие как 8 и 9 – те вынуждены тесниться.

Не кажется ли вам, что у этих результатов есть некое сходство с законом Бенфорда? Это простое совпадение или же мы на пороге какого-то открытия? Сейчас связь между ними не очевидна, но давайте запомним эту идею – вскоре у нас будет возможность вернуться к ней.

Эта тенденция подтверждается во всех проведенных тестах. Включая и тесты на числа до 100, которые проводились с детьми. Например, чаще всего ребенок на отрезке от 1 до 100 отметит 10 примерно посередине. Результат интригует: ведь поставить 10 ровно между 1 и 100 можно, только если мы мыслим мультипликативно.

Что, если мы пойдем еще дальше?

В XX веке было проведено несколько экспериментов, доказывающих, что такое восприятие чисел свойственно не только человеку. Что это можно проследить и у других видов, не только Homo sapiens.

Многие животные обладают естественным чувством количества. Хотя бы для того, чтобы оценить объем пищи, который им нужно накопить, или количество хищников, которых им нужно избежать, чтобы выжить. Их чувство величины довольно приблизительно и ограниченно по сравнению с человеческим, тем не менее удивительно.

Условия экспериментов с животными и интерпретация их результатов требуют гораздо более тонкого и тщательного подхода. С лошадьми, птицами или шимпанзе невозможно вести прямой диалог, подробно объяснить им правила эксперимента или заставить их понять цель того, что они делают. Однако некоторые факты поражают, потому что, похоже, некоторые животные воспринимают числа мультипликативно.

Вот пример эксперимента с крысами. Несколько особей поместили в клетки, внутри которых находились два рычага. Затем исследователи регулярно подавали крысам серию звуковых сигналов. Иногда два сигнала, иногда – восемь. Когда было всего два звуковых сигнала, крысам давали пищу при условии, что они нажимали на первый рычаг. Когда сигналов было восемь – при нажатии на второй рычаг. Некоторое время спустя грызуны поняли принцип и научились правильно нажимать на рычаг в зависимости от количества звуковых сигналов.

После того как крысы научились работать с рычагами, начался сам эксперимент. Что произойдет, если изменить количество звуковых сигналов? После трех сигналов, немного помедлив, крысы шли к первому рычагу, как в случае с двумя звонками. После пяти, шести или семи сигналов крысы выбирали второй рычаг, как в случае с восемью. Но после четырех сигналов они запутались! Половина крыс нерешительно подходила к первому рычагу, а другая половина – ко второму. Как будто для них число четыре оказывалось посередине между двумя и восемью, делая их выбор совершенно случайным.

Без сомнения, вы уже догадываетесь, какой напрашивается вывод: мультипликативно 4 находится посередине между 2 и 8. Если бы крысы рассуждали аддитивно, их смутила бы цифра 5. Но камнем преткновения для них стало все же число 4.