Андрей Гоголев - Занимательная история. Выпуск 2

Книга «Тайная тайных» была настольным руководством для кремлёвских правителей. Возникают лишь практические вопросы по теме. Хотелось бы узнать:

Как спецы Александра из Македонии рисовали карты (описать в современных терминах геодезии и картографии!)? Как, встретив широкую реку или бескрайнее болото, они измеряли их ширину? Тригонометрию уже тогда в школах изучали? Где, наконец, можно взглянуть на карты Александра?

Как Александр из Македонии проводил перепись населения? Где можно взглянуть на итоги хоть одной переписи? Как статистики Александра избегали повторного счёта, – уж не крестики ли ставили на лбах учтённых людей? Как сводили итоги сотен переписных листов в общий итог (цифра «ноль» не была ещё изобретена!)? Как, наконец, использовали полученные данные? – Только конкретно!

Говорят, что решением квадратуры круга занимались Анаксагор, Антифон, Архимед и не только: в III веке до нашей эры над её решением бился Евклид, чьи старания через пару тысяч лет продолжил, как мы видели выше, некий монах из Льежа. Вспомним: квадратура круга – это задача по нахождению способа построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади исходному кругу. Нужно подчеркнуть – речь идёт не о вычислении, а именно о построении!

После монаха Франко проблемой озаботился Фибоначчи (XIII), затем Николай Кузанский (XV) и наконец Леонардо (XVI), Кеплер и Гюйгенс (XVII). И только в 1766 г. трудами Ламберта иррациональность числа п была доказана, соответственно задача решения квадратуры круга при использовании только циркуля и линейки была признана принципиально неразрешимой (невозможно построить отрезок прямой, точно равный по длине этому числу).

Вопрос только один: почему в течение более одной тысячи лет (sic!) от времён Архимеда и до времён жития монаха Франко в мире так и не нашлось ни одного человека, кто бы столь же неистово набросился на решение этой задачи? Откуда возник столь долгий вакуум людской любознательности? Не странно ли?

Но продолжим слушать свидетельства истории (или якобы истории?).

П.Ф. Каптерев, †1922

Кирик (Новгородец. – А.Г.) знал первые четыре действия, но как производил их – неизвестно. В древности сложение производилось чаще всего при помощи инструментальных средств, следовательно, почти механически. Сложение больших чисел при посредстве отдельных сложений единиц, десятков, сотен и т. д., хотя и было известно, но употреблялось редко, вследствие затруднений, представляемых существовавшими способами изображения чисел. Для обозначения чисел употреблялись вместо цифр буквы, имевшие только одно значение, на каком бы месте они ни стояли. Такое обозначение вызывало необходимость в дополнительных условных знаках и делало все вычисления крайне затруднительными.

Например, умножение производилось в старину так: для умножения 409 на 15 нужно было умножить на 5 и на 10 сперва 400, а потом 9; для умножения 400 на 5 составлялся ряд: 400, 800, 1200, 1600, 2000 и последнее число этого ряда складывалось с числом 400, взятым 10 раз, т. е. с 4000. Таким же образом поступали и относительно числа 9, т. е. составляли ряд 9, 18, 27, 36, 45 и последнее число 45 складывали с 9, взятым 10 раз. Результаты обоих сложений 6000 и 135 складывали и получали сумму 6135.

К началу XIII века русские могли считать лишь до миллиона, и то не особенно твёрдо и бойко. Так, они писали: 300000 и 60000, и 400, и 40, и 6 рун (т. е. 360 446 рун. – А.Г.); 70000 и 3000, и 700, и 20, и 8 свиней; 30000 и 6000, и 800, и 60 гривен, и 4 гривны (в некоторых списках «Русской правды»).

Особенно затрудняли наших предков дроби. Употребительными дробями на практике были: половина, четверть и треть, пол четверти и полтрети, полполчетверти и полполтрети и, наконец, полполполчетверти и полполполтрети. Всякую другую дробь старались выразить приблизительно путем механического сопоставления перечисленных дробей, так что слово «пол» (четверти или трети) повторялось до 10 раз, обозначая мелкое дробное число. Когда же дроби нужно было складывать или вычитать, тогда дело было уже совсем плохо, так как приведение дробей к одному знаменателю не было известно, а потому приходилось во что бы то ни стало действия над дробями заменять действиями над целыми числами.

Пока не забылась информация от Каптерева, попробую расписать алгоритм решения задачи в его примере.

Первое, и что кажется понятным, люди Средних веков использовали на первом шаге алгоритма современную систему устного счёта:

409 × 15 = (400 + 9) × (10 + 5) = 400 × 10 + 400 × 5 + 9 × 10 + 9 × 5

Но дальше мозги предков работали совсем необычно для нас, примерно так: = [(400 + 400 + 400 + 400 + 400) + (400 + 400 + 400 + 400 + 400 + 400 + 400 + 400 + 400 + 400)] + [(9 + 9 + 9 + 9 + 9) + (9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9)] = (2000 + 4000) + (45 + 90) = 6 × 1000 + 1 × 100 + 3 × 10 + 5 = 6135 – ух!

Ну не знали ещё тогда способ умножения в столбик, да и десятичная система не была позиционной, так как не была известна ни на Руси, ни где-либо ещё, кроме Индии, ни цифра «ноль», ни шрифт деванагари (как бы арабские цифры)! Записи чисел производились буквами алфавита. Не позавидуешь!

Смотрим далее.

Сигизмунд Герберштейн, 1517, 1526

Сверх того, они (Епископы. – А.Г.) должны определять и устанавливать единицы измерения…

Способ счёта у них таков, что они считают и делят все предметы по сорока и девяносту, так же как мы по сотням. При счёте они последовательно повторяют и умножают таким образом дважды сорок, трижды сорок, четырежды сорок; sorogk – на их языке «сорок»; или дважды, трижды, четырежды девяносто: dewenosto – на их языке «девяносто».

«Тысяча» на их языке – tissutzae, а десять тысяч они называют одним словом – «тьма» (tma), двадцать тысяч – «две тьмы» (dwetma), тридцать тысяч – «три тьмы» (tritma).

Писцовые книги Бежецкой пятины Новгорода, 1554

Дер. Квечки, да в той же деревни выменная обжа: дв. сам Ковердяйко с племянником, дв. лютцкой, пашни в поле 10 коробей, а в дву по тому-ж, сена 40 копен, 4 обжы и с меновною.

Дер. Гамгино: дв. Куземка Офромеев, пашни в поле б коробей, а в дву по тому-ж, сена 30 копен, пол – 2 обжы…

П.Ф. Каптерев, †1922

Облегчение всех вычислений началось с введения арабских цифр. Но арабские цифры медленно входили в жизнь в течение XVII века. Впервые они встречаются в славяно-русских книгах (с 1611 г.), вышедших из западных типографий. В московской типографии употребление арабских цифр началось с 1647 года. Даже в начале XVIII века издавались иногда книги с арабскими и русскими цифрами, одна половина экземпляров с одними, а другая – с другими.

Поэтому понятно, что в старых рукописях арифметика превозносилась как высочайшая мудрость: «без сей численности философии, изобретения финикийского, единой из семи свободных мудростей, нельзя быть ни философом, ни доктором, ни гостем искусным в делах торговых… ея знанием можно снискать великую милость Государеву». Особенно расхвалена арифметика в одной рукописи первой половины XVII века: «Арифметика. Аз есмь от Бога свободная мудрость высокозрительного и остромысленного разума и добродатное придарование человеческое. Мною человек превосходит бессловесное неразумие. Аз бо есмь своими лёгкими крылома парю выспрь под облаки, ещё и несть мя тамо. Аз заочныя, невидимыя и предъочиыя дела объявляю» и т. д.