Аурика Луковкина - Высшая математика. Шпаргалка

Две матрицы А и В называются равными, если их размер одинаков и a ij = b ij . Нулевая матрица– это матрица, у которой все элементы равны нулю.

Единичной матрицейназывается квадратная матрица:

Матрицей, транспонированнойк матрице А размерности m х n называется матрица А тразмерности n х m , полученная из матрицы А если ее строки записать в столбцы а столбцы – строки.

Матрицы одинакового размера (однотипные)можно складывать, вычитать, перемножать и умножать на число.

Суммой (разностью)двух однотипных матриц А и В называется матрица С , элементы которой равны сумме или разности c ij = a ij ± b ij . При сложении справедливы:

А + В = В + А, (А + В) + С = А + (В + С), А + 0 = А .

Произведением матрицы А на число р называется матрица, элементы которой равны рa ij .

Справедливы свойства:

α ( βA ) = ( αβ ) А ;

( А + В ) α = αА + αВ ;

( α + β ) А = αА + βА .

Произведениемдвух квадратных матриц А и В называется матрица С , элемент которой, находящийся на пересечении i –ой строки и k –го столбца, является суммой парных произведений элементов i –ой строки первой матрицы на элемент k –ой строки второй матрицы С = АВ . То же правило распространяется на умножение прямоугольных матриц, у которых число столбцов матрицы–множимого равно числу строк матрицы–множителя.

Матрицы, для которых АВ = ВА , называются коммутирующими.

Справедливы свойства:

1) ЕА = АЕ = А ;

2) А ( ВС ) = ( АВ ) С ;

3) a( АВ ) = (a А ) В = А (a В );

4) ( А 1+ А 2) В = А 1 В + А 2 В, А ( В 1+ В 2) = АВ 1+ АВ 2;

5) А 0 = 0 А = 0;

6) ( АВ ) т= А т В т.

При умножении двух ненулевых матриц может получиться нулевая матрица.

Определителем второго порядка,соответствующим матрице , называется число, равное

Свойства определителя:

1) величина определителя не меняется, если заменить его строки соответствующими столбцами или если к элементам какой–либо его строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на одно и тоже число;

2) определитель поменяет знак при перемене мест его строк или столбцов;

3) определитель будет равен нулю, если элементы какого–либо столбца (или строки) равны нулю или элементы двух строк (или столбцов) соответственно равны.

Минором M ik элемента a ik определителя I А I называется определитель полученный из А вычеркиванием той строки и того столбца которым принадлежит этот элемент.

Алгебраическим дополнением A ik элемента a определителя | A | называется его минор, взятый со знаком (–1) i+k , A = (–1) i+ kM ik .

Определителем n– порядка,соответствующим квадратной матрице n –го порядка, называется число, равное сумме парных произведений элементов какой–либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Теорема.Если А и В – квадратные матрицы одного порядка с определителями | A | и | B |, то определитель матрицы С = АВ равен: | C | = | A | | B |.

Обратной матрицейдля квадратной матрицы А называется матрица А –1, которая удовлетворяет условиям АА –1 = А –1 А = Е . Матрица А называется вырожденной, если ее определитель | A | равен нулю.

Теорема.Матрица

где A ik – алгебраическое дополнение элемента a ik невырожденной матрицы А , является обратной для А .

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

Если каждому значению n из натурального ряда чисел – 1, 2, n – ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число а , то множество занумерованных вещественных чисел – а 1, а 2, а n – называется числовой последовательностью (последовательностью), числа а n называются элементамиили членамипоследовательности.

Числовая последовательность:

{ a n }, a n = f ( n ),

где n = 1, 2, 3… – номер члена последовательности.

Cпособы задания последовательностей:

1) аналитический (с помощью формулы n –члена);

2) рекуррентный (путем задания первого члена или нескольких членов и формулы для определения любого члена по известным членам);

3) словесный.

Суммой, разностью, произведениеми частным двух последовательностей{ x n } и { y n } называются соответственно следующие последовательности: { x n + y n }, { x n – y n }, { x n × y n }, { x n / y n }, в случае частного y n ≠ 0. Если в нуль обращается лишь конечное число членов последовательности знаменателя, то частное определяется с номера, отличного от нуля члена последовательности.

Последовательность называется возрастающей (убывающей), если для любого n выполняется условие: a n +1> a n ( a n +1< a n ). Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Последовательность называется невозрастающей (неубывающей), если для любого n выполняется условие: a n +1≤ a n ( a n +1≥ a n ).

Невозрастающие и неубывающие последовательности называются монотонными.

Последовательность { a n } называется сходящейся, если существует такое число А , что для любого положительного числа ε > 0 найдется такой номер N , что при всех n > N | a n– A | < ε . Если последовательность не сходится, то она называется расходящейся.