Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

(20.8)

что в точности соответствует закону преобразования векторов.

Мы, следовательно, доказали, что комбинацию xF y - yF x можно отождествить с тем, что обычно называется z-компонентой некоторого искусственно введенного вектора. Хотя момент сил является своего рода «кручением» в плоскости и, казалось бы, не имеет векторного характера, математически он все-таки ведет себя как вектор. Этот вектор направлен под прямым углом к плоскости кручения, а его длина пропорциональна силе кручения. Три компоненты такой величины будут преобразовываться при вращении как самый настоящий вектор.

Итак, мы представляем момент силы в виде вектора. Согласно правилу, с каждой плоскостью, в которой он действует, мы связываем прямую, перпендикулярную к этой плоскости. Однако перпендикулярность к плоскости оставляет неопределенный знак вектора. Чтобы определить его, необходимо еще одно дополнительное правило, которое говорило бы нам, что если момент силы действует определенным образом в плоскости ху , то соответствующий ему вектор направлен «вверх» по оси z. Это означает, что предварительно кто-то должен сказать нам, где «право», а где «лево». Предположим, что система координат xyz правосторонняя; тогда правило должно быть таким: если представить себе кручение как ввертывание болта с правовинтовой резьбой, то направление вектора, связанного с этим кручением, определяется поступательным движением болта.

Почему же момент можно отождествить с вектором? А это счастливая случайность: с каждой плоскостью можно связать только одну ось и, следовательно, с моментом можно связать только один вектор. Это свойство — особенность трехмерного пространства. В двумерном пространстве, например, момент — самый обычный скаляр, не нуждающийся в направлении. В трехмерном пространстве он — вектор. Если бы у нас было четыре измерения, то возникло бы большое затруднение, ибо (если, например, в качестве четвертого измерения взять время) дополнительно к трем плоскостям xy, yz и zx появятся также плоскости tx, ty и tz . Всего, следовательно, получается шесть плоскостей, а представить шесть величин в виде одного четырехмерного вектора невозможно.

Однако нам еще долго предстоит оставаться в трехмерном пространстве, поэтому стоит отметить, что в предыдущих математических рассмотрениях совершенно не существенно то, что х — координата, а F — сила, а существен только закон преобразования векторов. Поэтому не будет никакой разницы, если мы вместо координаты х подставим x-компоненту любого другого вектора. Иначе говоря, если мы хотим вычислить величину a x b y - a y b x , где аи b— векторы, и назвать ее z-компонентой некоторой новой величины c z , то эта величина будет вектором с. Было бы хорошо для такой связи трех компонент нового вектора сс векторами аи bпридумать какое-то математическое обозначение. Для такой связи пользуются обозначением: c= a×b. Таким образом, в дополнение к обычному скалярному произведению в векторном анализе мы получили произведение нового сорта, так называемое векторное произведение . Итак, запись c= a×bэто то же самое, что

(20.9)

Если переменить порядок векторов аи b, т. е. вместо a×bвзять b×a, то знак вектора спри этом изменится, ибо c z равно b x а у - b у а x . Векторное произведение поэтому не похоже на обычное умножение, для которого аb = bа . Для векторного произведения b×a=- a×b. Отсюда немедленно следует, что если а= b, то векторное произведение равно нулю, т. е. a×a=0.

Векторное произведение очень хорошо передает свойство вращения, поэтому важно понимать геометрическую связь векторов а, bи с. Связь между компонентами определяется уравнениями (20.9), исходя из которых можно получить следующие геометрические соотношения. Во-первых, вектор сперпендикулярен как к вектору а, так и к вектору b. (Попробуйте вычислить c×aи вы увидите, что в результате получится нуль.) Во-вторых, величина вектора с оказывается равной произведению абсолютных величин векторов bи а, умноженному на синус угла между ними. А куда направлен вектор с? Вообразите, что мы доворачиваем вектор адо вектора bв направлении угла, меньшего 180°; если крутить в ту же сторону болт с право-винтовой резьбой, то он должен двигаться в направлении вектора с. То, что мы берем право винтовой болт, а не лево винтовой,— простая договоренность, которая постоянно напоминает нам, что в отличие от настоящих, «честных» векторов аи bвектор нового типа a×bпо своему характеру слегка отличается от них, ибо строится он искусственно, по особому рецепту. У обычных векторов аи b, кроме того, есть специальное название: мы называем их полярными векторами . Примерами таких векторов служат координата r, сила F, импульс р, скорость v, электрическое поле Еи т. д. Все это обычные полярные векторы. Векторы же, содержащие одно векторное произведение обычных векторов, называются аксиальными векторами , или псевдовекторами . Примерами псевдовекторов, несомненно, могут служить момент силы τи момент импульса L. Кроме того, оказывается, что угловая скорость ω, как и магнитное поле В, тоже псевдовектор.

Чтобы расширить наши сведения о математических свойствах векторов, нужно знать все правила их умножения, как векторного, так и скалярного. В настоящий момент нам нужны лишь очень немногие из них, однако в целях полноты мы выпишем все правила с участием векторного произведения. Впоследствии мы будем ими пользоваться. Эти правила таковы:

Возникает вопрос: можно ли с помощью векторного произведения записать какое-нибудь уравнение физики? Да, конечно, с его помощью записываются очень многие уравнения. Сразу же видно, например, что момент силы равен векторному произведению радиус-вектора на силу