Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Если источник совершает относительно медленное движение, как, например, медленно колеблющийся вверх и вниз осциллятор, то при растягивании этого движения со скоростью света получится простая синусоидальная кривая. Отсюда можно получить формулу для поля, создаваемого осциллирующим зарядом, которую мы видели неоднократно.

Более интересный пример — это электрон, движущийся по окружности со скоростью, близкой к скорости света. Если наблюдатель находится в плоскости движения электрона, запаздывающее движение x'(t) имеет для него вид, изображенный на фиг. 34.3. Что это за кривая?

Фиг. 34.3. Кривая зависимости х'(t) для частицы, вращающейся по окружности с постоянной скоростью v=0,94c.

Если мы представим себе радиус-вектор, проведенный из центра окружности к заряду, и если мы продолжим эти радиальные линии чуть-чуть за заряд (совсем капельку, если заряд движется быстро), то мы придем к точке, которая движется со скоростью света с. Поэтому результирующее движение есть движение заряда, прикрепленного к колесу, которое катится назад (без скольжения) со скоростью с; это дает нам кривую, очень похожую на циклоиду, называется она гипоциклоидой .

Когда заряд движется по окружности со скоростью, близкой к скорости света, пики на кривой становятся очень острыми, а при скорости, равной скорости света, они были бы бесконечно острыми. «Бесконечно острые» пики! Очень интересно; это значит, что вблизи такого пика вторая производная очень велика. Один раз в течение каждого периода возникает мощный и резкий импульс электрического поля. Ничего похожего в случае нерелятивистского движения не бывает, там электрическое поле в течение всего периода принимает значения примерно одного и того же порядка. Вместо этого в случае больших скоростей там возникают резкие импульсы электрического поля с интервалом времени 1/Т 0, где Т 0— период обращения. Это сильное электрическое поле излучается в узком конусе около направления движения заряда. Когда же заряд удаляется от точки наблюдения Р, производная кривой мала и излучение в направлении Р очень слабое.

В синхротроне электроны движутся по окружности с большими скоростями, близкими к скорости света, и описанное излучение можно увидеть как настоящий свет ! Обсудим это явление более подробно.

Электроны в синхротроне движутся по окружности в однородном магнитном поле. Давайте установим прежде всего, почему они движутся по окружности. Согласно уравнению (12.10), сила, действующая на частицу в магнитном поле, равна

(34.6)

и направлена перпендикулярно полю и скорости. Как обычно, сила равна скорости изменения импульса со временем. Если поле направлено вверх от плоскости страницы, импульс и сила располагаются так, как показано на фиг. 34.4.

Фиг. 34.4. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле по окружности (или по спирали).

Поскольку сила перпендикулярна скорости, кинетическая энергия, а значит, и абсолютная величина скорости остаются постоянными . Действие магнитного поля сводится только к изменению направления движения . За малый промежуток времени Δt вектор импульса изменится на величину Δ р= F·Δt, направленную перпендикулярно импульсу, т. е. вектор импульса рповернется на угол Δθ=Δр/р= qvB Δ t / p , так как | F|=qv·| В|. Но за то же время электрон пройдет расстояние Δs= v Δ t . Две прямые, АВ и CD , очевидно, пересекутся в точке О , для которой ОА = ОС = R , причем Δs=RΔθ. Комбинируя написанные формулы, мы получаем RΔθ/Δt=Rω= v = qvBR / p , откуда

(34.7)

(34.8)

Мы можем повторить это рассуждение в любой последующий промежуток времени и придем, таким образом, к заключению, что частица в магнитном поле должна двигаться по окружности, имеющей радиус R, с угловой скоростью ω.

Равенство (34.7), выражающее импульс через произведение заряда, радиуса и магнитного поля, представляет собой очень важный закон, находящий весьма широкое применение. Он имеет большое практическое значение, потому что при наблюдении движения частиц с одинаковыми зарядами в магнитном поле позволяет измерить радиусы кривизны траекторий; зная, кроме того, величину магнитного поля, можно определить, таким образом, импульсы частиц. Умножив обе части (34.7) на с и выразив заряд q через заряд электрона, мы получаем формулу для импульса в единицах электронвольт (эв):

(34.9)

Здесь В, R и скорость света определены в системе единиц СИ, скорость света в этой системе равна численно 3·10 8.

Единица измерения магнитного поля в системе СИ называется вебер на метр квадратный . Часто употребляют более старую единицу — гаусс ( гс ). Один вебер/м 2равен 10 4гс. Чтобы дать представление о величине магнитных полей, приведем некоторые цифры. Самое сильное магнитное поле, которое можно создать в железе, порядка 1,5·10 4гс; при больших полях использовать железо становится невыгодным. В настоящее время электромагниты с обмоткой из сверхпроводящей проволоки позволяют получать постоянное поле напряженностью свыше 10 5гс, т. е. 10 ед. СИ. Напряженность магнитного поля Земли у экватора составляет несколько десятых гаусса.

Обратимся снова к формуле (34.9) и возьмем для примера синхротрон, который разгоняет частицы до миллиарда электрон-вольт, т. е. дает частицы с рс, равным 10 9эв (ниже мы определим и энергию частиц). Пусть В=10 4гс, или 1 ед. СИ, т. е. поле достаточно сильное, тогда R оказывается равным 3,3 м. Синхротрон КАЛТЕХа имеет радиус 3,7 м, поле чуть больше взятого нами, а энергию 1,5 млрд. эв (или Гэв), т. е. порядок всех величин тот же самый. Теперь становится понятным, почему синхротроны имеют такие размеры.

Выше мы брали импульс частиц; полная же энергия, включающая энергию покоя, дается формулой W=√(р2с 2+m 2с 4). Энергия покоя электрона mс 2равна 0,511·10 6эв, поэтому при импульсе рс — 10 9эв можно пренебречь величиной m 2с 4и для всех практических целей пользоваться формулой W=рс, справедливой в случае релятивистских скоростей. Фактически нет никакой разницы, когда мы говорим, что энергия электрона равна 1 Гэв или что импульс электрона, умноженный на с, равен 1 Гэв. Когда W=10 9эв, то, как легко показать, скорость частицы равна скорости света с точностью до одной восьмимиллионной!