Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Когда же положение частицы более или менее известно, когда оно может быть предсказано довольно точно, то вероятность того или иного ее местоположения должна быть отлична от нуля в определенной области, имеющей, скажем, длину Δx. Вне этой области вероятность равна нулю. Вероятность — это квадрат абсолютной величины амплитуды. Когда квадрат абсолютной величины равен нулю, то и амплитуда равна нулю.

Фиг. 38.1. Волновой пакет длиной Δx.

Выходит, что амплитуда описывает цуг волн протяженностью Δx (фиг. 38.1), а длине волны (расстоянию между горбами волн) в цуге волн соответствует некоторое значение импульса частицы.

Здесь мы сталкиваемся со странным и в то же время очень простым явлением, никак непосредственно с квантовой механикой не связанным. Оно известно всем, кто занимался волнами, даже не зная квантовой механики, а именно: нельзя однозначно определить длину волны для короткого цуга волн . У такого цуга нет определенной длины волн; в волновом числе имеется неопределенность, связанная с конечной длиной цуга, а значит, и неопределенность в импульсе.

Чтобы понять, почему в квантовой механике появляется неопределенность в положении и (или) в импульсе, рассмотрим два примера. Мы уже видели раньше, что если бы этого не было, если бы можно было параллельно измерять и местонахождение, и импульс какого-то тела, то возник бы парадокс. К счастью, парадокса не возникает, а то обстоятельство, что неопределенность естественным образом вытекает из волновой картины, свидетельствует, что все здесь взаимосвязано.

Вот первый пример, показывающий связь импульса и координаты в условиях, которые легко себе представить. Пусть сквозь единственную щель в экране проникают частицы, пришедшие издалека и обладающие определенной энергией. Движутся все они горизонтально (фиг. 38.2).

Фиг. 38.2. Дифракция частиц, проходящих сквозь щель.

Сосредоточим наше внимание на вертикальной составляющей импульса. У каждой из этих частиц имеется (в обычном классическом смысле) горизонтальная составляющая импульса определенной величины р 0. Вертикальная составляющая импульса р y (до того, как частица пройдет сквозь прорезь) также в классическом смысле хорошо известна: частицы не движутся ни вверх, ни вниз, потому что их источник очень удален, значит, вертикальная составляющая импульса частицы в точности равна нулю. А теперь предположим, что ширина щели равна В . Когда частица пройдет через щель, то ее вертикальная координата у определится с хорошей точностью ± В . Это значит, что неопределенность в положении частицы Δy будет порядка В . Может, вы захотите сказать, что Δp y=0, потому что импульс частиц, мол, точно горизонтален? Но это не так. Это прежде мы знали, что импульс имеет только горизонтальную составляющую, а теперь мы этого уже не знаем. Перед тем как частица проникла сквозь щель, мы не знали ее вертикальной координаты. После того как частица проникла сквозь щель, мы узнали ее вертикальную координату, но потеряли информацию об ее вертикальной составляющей импульса! Почему? Да потому, что, согласно волновой теории, происходит отклонение, или дифракция, волн, проникших сквозь щель, подобно тому как это бывает со светом. Поэтому есть конечная вероятность того, что частицы, пройдя сквозь щель, не пойдут прямо вперед. Вся картина распространения расплывается за счет дифракции, и угол этого расширения (угол, под которым виден первый минимум) есть мера неопределенности направления частицы.

Каким образом происходит расплывание изображения в ширину? Расплывание означает, что существует некая вероятность того, что частица отправится вверх или вниз, т. е. приобретет компоненту импульса, направленную вверх или вниз. (Мы говорим и о вероятности и о частице , потому что дифракционную картину можно обнаружить с помощью счетчика частиц, а когда счетчик регистрирует частицу, скажем, в точке С на фиг. 38.2, то он регистрирует частицу целиком. А это значит в классическом смысле, что частица имеет вертикальный импульс, направляющий ее из щели прямо в точку С .)

Чтобы примерно представить себе степень расплывания импульса, напишем, что вертикальный импульс р у размазан на р 0Δθ, где р 0— горизонтальный импульс. Чему же равно Δθ в размазанной картине? Известно, что первый минимум наблюдается при угле Δθ таком, что в этом направлении волна от дальнего края щели должна отстать на одну свою длину от волны от ближнего края (мы об этом уже говорили в гл. 30). Стало быть, Δθ равно λ/B, и тем самым Δр yв этом эксперименте равно р 0λ/ В . Чем меньше будет В , чем точнее будет определяться положение частицы, тем шире будет дифракционная картина. Вспомните, что когда мы закрывали щели в эксперименте с микроволнами, то интенсивность в стороне от щели возрастала. Значит, чем уже щель, тем шире становится картина дифракции, тем правдоподобнее, что мы обнаружим у частицы импульс, направленный в сторону. И неопределенность в вертикальном импульсе, действительно, обратно пропорциональна неопределенности в у , потому что их произведение равно p 0λ.

Но λ — это длина волны, а р 0— импульс, и в соответствии с квантовой механикой их произведение — это постоянная Планка h . Получается, что произведение неопределенностей в вертикальном импульсе и в вертикальной координате есть величина порядка h :

(38.3)

Мы не можем приготовить систему, в которой положение частицы по вертикали было бы известно, и в то же время предсказывать с определенностью, превышающей h /Δ y , насколько ее движение отклонится от вертикали. Неопределенность в вертикальном импульсе всегда больше h /Δ y , если Δ y — неопределенность, с какой мы знаем положение частицы.

Некоторые люди утверждают, что в квантовой механике все неправильно. Когда, говорят они, частица приближалась слева, ее вертикальный импульс был равен нулю. А когда она прошла через щель, стало известно ее положение. И то, и другое может быть определено с любой точностью.

Совершенно верно. Мы можем зарегистрировать частицу и определить, каково ее положение и каким должен был быть ее импульс, чтобы она попала туда, куда она попала. Это все верно. Но соотношение неопределенностей (38.3) ничего общего с этим не имеет. Уравнение (38.3) относится к возможности предсказания , а не к замечаниям о том, что произошло в прошлом. Какая польза в том, что мы скажем: «Я знал, каков был импульс до прохода частицы сквозь щель, а теперь узнал к тому же и координату»? Ведь теперь-то знание об импульсе частицы уже утеряно. Раз она прошла сквозь щель, то мы уже не можем больше предсказывать ее вертикальный импульс. Речь идет о теории, способной к предсказаниям, а не об измерениях после того, как все завершилось. Мы и обсуждаем вопрос о том, что можно предвидеть.