Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Попробуем теперь по-иному подойти к этим вещам. Приведем другой пример того же явления, на этот раз с более подробными количественными оценками. Прежде мы измеряли импульс классическим способом: мы рассматривали направление, скорость, углы, и тому подобное; в этом заключался способ получения импульса путем классического анализа. Но раз импульс связан с волновым числом, то в природе существует и другой, совершенно иной путь измерения импульса частиц (все равно, фотона или любой другой), не имеющий классического аналога. В нем используется уравнение (38.2) и просто измеряется длина волны . Давайте попробуем таким способом измерить импульс.

Фиг. 38.3. Определение импульса с помощью дифракционной решетки.

Пусть имеется решетка со множеством линий (фиг. 38.3), на которую направлен пучок частиц. Мы неоднократно рассматривали эту задачу: когда у частиц есть определенный импульс, то вследствие интерференции в некотором направлении возникает очень резкий максимум. Мы также говорили о том, насколько точно можно определить этот импульс, т. е. какова разрешающая сила решетки. Мы не будем заново это все выводить, а сошлемся на гл. 30; там мы выяснили, что относительная неопределенность в длине волны, связанная с данной решеткой, равна 1/Nm, где N — количество линий решетки, а m — порядок дифракционного максимума. Иначе говоря,

(38.4)

Перепишем эту формулу в виде

(38.5)

где расстояние L показано на фиг. 38.3. Это — разность двух расстояний: расстояния, которое должна пройти волна (или частица), отразившись от нижней части решетки, и расстояния, которое нужно пройти, отразившись от верха решетки.

Другими словами, волны, образующие дифракционный максимум,— это волны, приходящие от разных частей решетки. Первыми прибывают волны, вышедшие снизу — это начало цуга волн, а потом следуют дальнейшие части цуга, от средних частей решетки, пока не придут волны от верха: точка цуга, удаленная от его начала на расстояние L . Значит, чтобы получить в спектре резкую линию, отвечающую определенному импульсу [с неопределенностью, даваемой формулой (38.4)], для этого нужен цуг волн длиной L . Если цуг чересчур короток (короче L ), то не вся решетка будет действовать. Волны, образующие спектр, будут отражаться при этом только от небольшого куска решетки, и решетка не будет хорошо работать — получится сильное размытие по углу. Чтобы его сузить, надо использовать всю ширину решетки так, чтобы хотя бы на одно мгновение весь цуг волн улегся одновременно на решетке и рассеялся ото всех ее частей. Потому-то длина цуга должна быть равна L ; тогда только неопределенность в длине волны окажется меньше, чем указано формулой (38.5). Заметим, что

(38.6)

поэтому

(38.7)

где L — длина цуга волн.

Это означает, что когда цуг волн короче L , то неопределенность в волновом числе превосходит 2π/ L . Иначе говоря, неопределенность в волновом числе, умноженная на длину волнового цуга (назовем ее на минутку Δx), больше 2π. Мы назвали ее Δx потому, что это как раз неопределенность в положении частицы. Если цуг волн тянется только на конечном промежутке, то лишь там мы и можем обнаружить частицу с неопределенностью Δx. Это свойство волн (тот факт, что произведение длины цуга волн на неопределенность в волновом числе, связанном с этим цугом, не меньше 2π) опять-таки хорошо знакомо всем, кто занимался волнами. И никакого отношения к волновой механике оно не имеет. Просто нельзя очень точно подсчитать число волн в конечной их веренице.

Объяснить это можно и по-другому. Пусть длина цуга волн L. Так как на концах цуга волны спадают (как на фиг. 38.1), то количество волн на длине L известно с точностью порядка ± 1. Но число волн на длине L равно kL /2π. Значит, неопределенность в k равна 2π/ L . Опять получилась формула (38.7) как простое свойство всяких волн. Это остается верным всегда: и для волн в пространстве, когда k есть количество радиан на 1 см , а L — длина цуга, и для волн во времени, когда ω есть число колебаний в 1 сек, а Т — «длина» во времени того же цуга. Иначе говоря, если цуг волн длится только конечное время Т , то неопределенность в частоте дается формулой

(38.8)

Мы все время старались подчеркнуть, что это свойство самих волн, что все это хорошо известно, например в теории звука. А квантовомеханические применения этих свойств опираются на толкование волнового числа как меры импульса частицы по правилу р =ℏ k , так что (38.7) уже утверждает, что Δр≈h/Δx. Это устанавливает предел классическому представлению об импульсе. (Естественно, оно и должно быть как-то подвергнуто ограничению, если мы собираемся изображать частицы как волны!) И очень хорошо, что мы нашли правило, которое каким-то образом берется указать, где нарушаются классические представления.

Теперь рассмотрим отражение волн вещества от кристалла. Кристалл — это твердое тело, состоящее из множества одинаковых атомов, расположенных стройными рядами. Как можно расположить этот строй атомов, чтобы, отражая в данном направлении данный пучок света (рентгеновских лучей), электронов, нейтронов, чего угодно, получить сильный максимум? Чтобы испытать сильное отражение, лучи, рассеянные от всех атомов, должны быть в фазе друг с другом. Не может быть так, чтобы точно половина волн была в фазе, а половина — в противофазе, тогда все волны исчезнут. Нужно, стало быть, найти поверхности постоянной фазы; это, как мы уже объясняли раньше, плоскости, образующие равный угол с начальным и конечным направлениями (фиг. 38.4).

Фиг. 38.4. Рассеяние волн плоскостями кристалла.

Если мы рассмотрим две параллельные плоскости, как показано на фиг. 38.4, то волны, рассеянные на них, окажутся в фазе только тогда, когда разность расстояний, пройденных фронтом волны, будет равна целому числу длин волн. Эта разность, как легко видеть, равна 2dsinθ, где d — расстояние между плоскостями. Итак, условие когерентного отражения имеет вид