Ричард Фейнман - Том 2. Электромагнетизм и материя

Теперь мы видим, как получать общее решение уравнений Максвелла. Если подразумевать под ψ скалярный потенциал φ, то функция источника s превращается в ρ/ε 0. А можно считать, что ψ представляет одну из трех компонент векторного потенциала А; тогда s означает соответствующую компоненту j/ε 0c 2. Стало быть, если во всех точках известна плотность зарядов ρ( х, у, z, t ) и плотность тока j( х, у, z, t ), то решения уравнений (21.4) и (21.5) можно выписать немедленно:

(21.15)

(21.16)

Поля Еи Вполучатся дифференцированием потенциалов [используются выражения (21.2) и (21.3)]. Кстати, можно проверить явно, что φ и А, полученные из (21.15) и (21.16), действительно удовлетворяют равенству (21.6).

Мы решили уравнения Максвелла. В любых обстоятельствах, если только заданы токи и заряды, из этих интегралов можно определить потенциалы, а затем, продифференцировав их, получить поля. Тем самым с теорией Максвелла покончено. И это позволяет нам также замкнуть круг и вернуться к нашей теории света, потому что достаточно только подсчитать электрическое поле движущегося заряда, чтобы связать все это с нашей прежней теорией света. Все, что нам остается сделать,— это взять движущийся заряд, вычислить из этих интегралов его потенциал и затем из - ∇φ-∂ A/∂ t , дифференцируя, найти Е. Мы должны получить формулу (21.1). Работы придется проделать много, но принцип ясен.

Итак, мы дошли до центра электромагнитной вселенной. У нас в руках полная теория электричества, магнетизма и света, полное описание полей, создаваемых движущимися зарядами, и многое, многое другое. Все сооружение, воздвигнутое Максвеллом, во всей его полноте, красе и мощи сейчас перед нами. Это, пожалуй, одно из величайших свершений физики. И чтобы напомнить о его важности, мы переписываем все формулы вместе и обводим их красивой рамкой.

Мы пока еще не провели обещанного вывода формулы (21.1) для электрического поля движущегося точечного заряда. Даже зная то, что мы уже знаем, этот вывод все равно проделать нелегко. Нам не удалось обнаружить формулы (21.1) нигде, ни в каких книжках и статьях (кроме первых выпусков этих лекций [28] Формула была выведена Р. Фейнманом в 1950 г. и приводится иногда в лекциях как удобный способ расчета синхротронного излучения. ). Это свидетельствует о том, что вывод ее не прост. (Поля движущегося заряда записывались неоднократно и в других видах, которые все, конечно, эквивалентны.) Мы ограничимся поэтому здесь тем, что просто покажем на нескольких примерах, что (21.15) и (21.16) приводят к тем же результатам, что и (21.1). Первым делом мы покажем, что при том единственном условии, что движение заряженной частицы является нерелятивистским, (21.1) приводит к правильной величине полей. (Уже этот частный случай покрывает 90% всего того, что было сказано о явлении света.)

Рассмотрим такую ситуацию, когда имеется сгусток зарядов, каким-то образом перемещающийся в небольшой области; требуется найти создаваемые им где-то вдалеке от этого места поля. Можно поставить вопрос и иначе: мы найдем поле на произвольном расстоянии от точечного заряда, который почти незаметно колеблется вверх и вниз. Поскольку свет обычно испускают такие нейтральные тела, как атомы, то мы будем считать, что наш колеблющийся заряд q расположен вблизи неподвижного, равного по величине, но противоположного по знаку заряда. Если расстояние между центрами зарядов равно d, то у зарядов появится дипольный момент p= q d,который мы будем считать функцией времени. Следует ожидать, что поблизости от зарядов запаздыванием поля можно будет пренебречь; электрическое поле будет в точности таким же, как и то, которое получалось раньше для электростатического диполя [но, конечно, с мгновенным дипольным моментом p(t)]. Однако при большом удалении в формуле для поля должно появиться добавочное слагаемое, которое меняется как 1/r и зависит от того, каково ускорение заряда в направлении, поперечном к лучу зрения. Посмотрим, получится ли у нас этот результат.

Начнем с вычисления векторного потенциала Апри помощи (2.16). Пусть плотность зарядов в сгустке есть ρ(х, у, z ) и весь он движется все время со скоростью v. Тогда плотность тока j( x, у , z) равна vρ(x, y, z ). Удобно систему координат расположить так, чтобы ось z была направлена по v; тогда геометрия нашей задачи изобразится так, как показано на фиг. 21.2.

Фиг. 21.2. Потенциалы в точке (1) даются интегралами от плотности заряда ρ.

Нас интересует интеграл

(21.17)

Если размеры заряда-сгустка на самом деле намного меньше, чем r 12, то r 12в знаменателе можно положить равным r (расстоянию от центра сгустка) и вынести r за знак интеграла. Кроме того, мы собираемся положить и в числителе r 12=r, хотя это и не совсем верно. А неверно это потому, что на самом деле, скажем, полагается брать jв верхней части сгустка совсем не в тот момент, когда в нижней, а немного в другое время. Полагая r 12=r в j( t -r 12/с), мы вычисляем плотность тока для всего сгустка в одно и то же время ( t - r / с ). Это приближение годится лишь тогда, когда скорость v заряда много меньше с . Мы, стало быть, ведем расчет в нерелятивистском случае. После замены jна ρ vинтеграл (21.17) превращается в

Раз скорость всех зарядов в сгустке одна и та же, этот интеграл просто равен v/ r , умноженному на общий заряд q . Но q v— это как раз ∂ p/∂ t (скорость изменения дипольного момента), только надо ее, конечно, определять в более раннее время ( t - r / с ). Запишем эту величину так: . p( t - r / с ). Итак, мы получаем для векторного потенциала