Ричард Фейнман - Том 2. Электромагнетизм и материя

Перед нами все еще стоит задача расчета электрического поля и доказательства того, что оно совпадает с (21.1'). Правда, уже чувствуется, что на больших расстояниях ответ получится такой, как надо. Мы знаем, что вдали от источников, где возникает распространяющаяся волна, Еперпендикулярно к В(и к r), как на фиг. 21.4, и что с В= Е. Значит, Епропорционально ускорению .. р, как и предсказывалось формулой (21.1').

Чтобы получить электрическое поле на всех возможных расстояниях, нужно найти электростатический потенциал. Когда мы подсчитывали интеграл токов для А, желая получить (21.18), то сделали приближение: мы пренебрегли малозаметным изменением r в члене с запаздыванием. Для электростатического потенциала этого делать нельзя, потому что тогда у нас получилось бы 1/ r , умноженное на интеграл от плотности заряда, т. е. на константу. Такое приближение чересчур грубо. Надо обратиться к высшим порядкам. И вместо того, чтобы путаться в этих прямых расчетах высших приближений, можно поступить иначе — определить скалярный потенциал из равенства (21.6), используя уже найденное значение векторного потенциала. Дивергенция Ав этом случае просто равна ∂ A /∂ z , поскольку А х и A y тождественно равны нулю. Дифференцируя точно так же, как это делалось выше при вычислении В, получаем

Или в векторных обозначениях

Из равенства (21.6) получается уравнение для φ:

Интегрирование по t просто убирает надо всеми р по одной точке:

(Постоянная интегрирования отвечала бы некому наложенному статическому полю, которое, конечно, может существовать, но мы считаем, что у выбранного нами колеблющегося диполя статического поля нет.) Теперь мы можем из

найти электрическое поле Е. После утомительных (хоть и прямых) выкладок [при этом нужно помнить, что p( t - r / с ) и его производные по времени зависят от х, у и z через запаздывание r/ с ] мы получаем

(21.26)

где

(21.27)

Это выглядит довольно сложно, но интерпретируется просто. Вектор р *— это дипольный момент с запаздыванием и с «поправкой» на запаздывание, так что два члена с р *в (21.26) при малых r дают просто статическое поле диполя [см. гл. 6 (вып. 5), выражение (6.14)]. Когда r велико, то член с рпреобладает над остальными, и электрическое поле пропорционально ускорению зарядов в направлении поперек r и само направлено вдоль проекции .. рна плоскость, перпендикулярную к r.

Этот результат согласуется с тем, что мы получили бы, применяя формулу (21.1'). Конечно, эта формула — более общая; она годится для любого движения, а не только для малозаметных движений, для которых запаздывание r/ с в пределах всего источника можно считать постоянным [как (21.26)]. Во всяком случае, теперь мы укрепили столбами все наше прежнее изложение свойств света, за исключением лишь некоторых вопросов из гл. 34 (вып. 3), которые связаны с последней частью выражения (21.26). Мы можем теперь перейти к получению поля быстродвижущихся зарядов. Это приведет нас к релятивистским эффектам [гл. 34 (вып. 3)].

В предыдущем параграфе мы пошли на упрощение при вычислении интеграла для А, рассматривая только небольшие скорости. Но при этом мы шли таким путем, которым легко можно прийти и к новым выводам. Поэтому сейчас мы заново предпримем расчет потенциалов точечного заряда, движущегося уже, как ему захочется (даже с релятивистской скоростью). Как только мы получим этот результат, у нас в руках окажутся электромагнитные свойства электрических зарядов во всей их полноте. Даже формулу (21.1') можно будет тогда легко получить, взяв только нужные производные. И наш рассказ удастся, наконец, довести до конца. Итак, запаситесь терпением!

Попробуем подсчитать в точке ( х 1, у 1, z 1) скалярный потенциал φ(1), создаваемый точечным зарядом (вроде электрона), движущимся любым, каким угодно образом. Под «точечным» зарядом подразумевается очень маленький заряженный шарик, такой маленький, как только можно себе представить, с плотностью заряда ρ( х, у, z ). Потенциал φ можно найти из (21.15):

(21.28)

На первый взгляд кажется (и почти все так и подумают), что ответ состоит в том, что интеграл от ρ по такому «точечному» заряду равен просто общему заряду q , т. е. что

Через r ' 12здесь обозначен радиус-вектор от заряда в точке (2) к точке (1), измеренный в более раннее время ( t — r 12/ c ). Эта формула ошибочна.

Правильный ответ такой:

(21.29)

где v r '— компонента скорости заряда, параллельная r 12, т. е. направленная к точке (1). Сейчас я объясню, почему это так. Чтобы легче было следить за моими доводами, я сперва проведу расчет для «точечного» заряда в форме небольшого заряженного кубика, который движется к точке (1) со скоростью v (фиг. 21.5).

Фиг. 21.5. «Точечный» заряд (рассматриваемый как небольшое распределение зарядов в форме куба), движущийся со скоростью v к точке (1).

Сторона куба будет а, это число пусть будет много меньше r 12[расстояния от центра заряда до точки (1)].

Чтобы оценить величину интеграла (21.28), мы вернемся к основному определению: запишем его в виде суммы