Ричард Фейнман - Том 2. Электромагнетизм и материя

Если перейти к пределу при Δx→0, получается

(24.2)

Так что сохранение заряда предполагает, что градиент тока пропорционален скорости изменения напряжения во времени. Уравнения (24.1) и (24.2) — это основные уравнения линии передачи. При желании их можно видоизменить так, чтобы они учитывали сопротивление проводников или утечку зарядов через изоляцию между проводниками, но пока нам достаточно самого простого примера.

Оба уравнения передающей линии можно объединить, продифференцировав первое по t, а второе по x; и исключив V или I. Получится либо

(24.3)

либо

(24.4)

Мы снова узнаем волновое уравнение по х. В однородной передающей линии напряжение (и ток) распространяется вдоль линии как волна. Напряжение вдоль линии будет следовать закону V(x, t)=f(x-vt) или V(x, t)=g(x+vt) или их сумме. А что такое здесь v? Мы знаем, что коэффициент при ∂ 2/∂t 2— это просто 1/v 2, так что

(24.5)

Покажите самостоятельно, что напряжение для каждой волны в линии пропорционально току этой волны и что коэффициент пропорциональности — это просто характеристический импеданс z 0. Обозначив через V +и I +напряжение и ток для волны, бегущей в направлении +x, вы должны будете получить

(24.6)

Равным образом, для волны, бегущей в направлении -х, получится

Характеристический импеданс, как мы уже видели из наших уравнений для фильтра, дается выражением

(24.7)

и поэтому есть чистое сопротивление.

Чтобы найти скорость распространения v и характеристический импеданс z 0передающей линии, нужно знать индуктивность и емкость единицы длины линии. Для коаксиального кабеля их легко подсчитать. Поглядим, как это делается. При расчете индуктивности мы будем следовать идеям, изложенным в гл. 17, § 8, и положим 1/ 2 LI 2равным магнитной энергии, в свою очередь получаемой интегрированием ε 0с 2B 2/2 по объему. Пусть по внутреннему проводнику течет ток I; тогда мы знаем, что B=I/2πε 0с 2r, где r — расстояние от оси. Беря в качестве элемента объема цилиндрический слой толщины dr и длины l, получаем для магнитной энергии

где а и b — радиусы внутреннего и внешнего проводников. Интегрируя, получаем

(24.8)

Приравниваем эту энергию к 1/ 2 LI 2и находим

(24.9)

Как и следовало ожидать, L пропорционально длине l линии, поэтому L 0(индуктивность на единицу длины) равна

(24.10)

Мы уже рассчитывали заряд на цилиндрическом конденсаторе [гл. 12, § 2 (вып. 5)]. Деля теперь этот заряд на разность потенциалов, получаем

Емкость же на единицу длины С 0— это С / l . Сопоставляя этот результат с (24.10), мы убеждаемся, что произведение L 0 C 0равно просто 1/с 2, т. е. v =1/√( L 0 C 0) равно с . Волна бежит по линии со скоростью света. Нужно подчеркнуть, что этот результат зависит от сделанных предположений: а) что в промежутке между проводниками нет ни диэлектриков, ни магнитных материалов; б) что все токи текут только по поверхности проводников (как это бывает в идеальных проводниках). Позже мы увидим, что на высоких частотах все токи распределяются на поверхности хороших проводников, словно они идеальные проводники, так что это предположение правильно.

Любопытно, что в этих двух предположениях произведение L 0 C 0равно 1/ с 2для любой параллельной пары проводников, даже в том случае, если, скажем, внутренний шестигранный проводник тянется как-то вдоль эллиптического внешнего. Пока сечение постоянно и между проводниками нет ничего, волны распространяются со скоростью света.

Подобных общих утверждений по поводу характеристического импеданса сделать нельзя. Для коаксиальной линии он равен

(24.11)

Множитель 1/e 0c имеет размерность сопротивления и равен 120π ом. Геометрический фактор ln(b/a) только логарифмически зависит от размеров, так что коаксиальная линия (и большинство других линий), как правило, обладает характеристическим импедансом порядка 50 ом или что-то около этого, до нескольких сот ом.

То, о чем мы сейчас будем говорить, на первый взгляд кажется поразительным явлением: если из коаксиального кабеля убрать внутреннюю жилу, он все равно будет проводить электромагнитную энергию. Иными словами, на достаточно высокой частоте полая труба действует ничуть не хуже, чем труба, внутри которой имеется провод. Связано это с другим таинственным явлением, о котором мы уже знаем,— на высоких частотах резонансный контур (конденсатор с катушкой) можно заменить простой банкой.

Это выглядит очень странно, если пользоваться представлением о передающей линии, как о распределенных индуктивности и емкости. Но ведь все мы знаем, что внутри пустой металлической трубы могут распространяться электромагнитные волны. Если труба прямая, через нее все видно! Значит, электромагнитные волны через трубу бесспорно проходят. Но мы знаем также, что нет возможности передавать волны низкой частоты (переменный ток или телефонные сигналы) через одну-единственную металлическую трубу. Выходит, электромагнитные волны проходят через нее только тогда, когда их длина волны достаточно мала. Поэтому мы рассмотрим предельный случай самых длинных волн (или самых низких частот), способных проходить через трубу данного размера. Эту трубу, служащую для прохождения волн, называют волноводом.