Ричард Фейнман - Том 2. Электромагнетизм и материя

Фиг. 24.6. Магнитное поле в волноводе.

Уравнение (24.16) для k zна самом деле имеет два корня — один с плюсом, другой с минусом. Ответ следует писать так:

(24.20)

Смысл этих двух знаков просто в том, что волны в волноводе могут бежать и с отрицательной фазовой скоростью (в направлении —z), и с положительной. Волны, естественно, должны иметь возможность бежать в любую сторону. И раз одновременно могут существовать оба типа волн, то решение в виде стоячих волн тоже возможно.

Наше уравнение для k z сообщает нам также, что высшие частоты приводят к большим значениям k z , т. е. к более коротким волнам, пока в пределе больших ω величина k не станет равной ω/с — тому значению, которое бывает, когда волна бежит в пустоте. Свет, который мы «видим» сквозь трубу, все еще бежит со скоростью с . Но посмотрите зато, какая странная вещь получается, когда частота убывает. Сперва волны становятся все длиннее и длиннее. Но если частота ω станет чересчур малой, то под корнем в (24.20) внезапно появится отрицательное число. Это произойдет, когда ω перевалит через πс/а или когда λ 0станет больше 2а. Иначе говоря, когда частота становится меньше некоторой критической частоты ω c=πс/а, волновое число k z (а также λ g ) становится мнимым и никакого решения у нас не остается. Или остается? Кто, собственно, сказал, что k z должно быть действительным? Что случится, если оно станет мнимым? Уравнения-то поля по-прежнему ведь будут удовлетворяться. Может быть, и мнимые k z тоже представляют какую-то волну?

Предположим, что ω действительно меньше ω c; тогда можно написать

(24.21)

где k ' — действительное положительное число

(24.22)

Если теперь вернуться к нашей формуле (24.12) для Е y , то надо будет написать

(24.23)

что можно также представить в виде

(24.24)

Это выражение приводит к полю Е, которое во времени колеблется как e i ω t , а по z меняется как e ± k ' z . Оно плавно убывает или возрастает с z, как всякая действительная экспонента. В нашем выводе мы не думали о том, откуда взялись волны, где их источник, но, конечно, где-то в волноводе он должен быть. И знак, который стоит при k ', должен быть таков, чтобы поле убывало при удалении от источника волн.

Итак, при частотах ниже ω с =π с / а волны вдоль трубы не распространяются ; осциллирующее поле проникает в трубу лишь на расстояние порядка 1/ k '. По этой причине частоту ω с называют «граничной частотой» волновода. Глядя на (24.22), мы видим, что для частот чуть пониже ω cчисло k ' мало, и поля могут проникать в трубу довольно далеко. Но если ω намного меньше ω с, коэффициент k ' в экспоненте равняется π/а, и поле отмирает чрезвычайно быстро (фиг. 24.7). Поле убывает в е раз на расстоянии а/π, т. е. на трети ширины волновода. Поля проникают в волновод на очень малое расстояние от источника.

Фиг. 24.7. Изменение Е y с ростом z при ω≪ω c .

Мы хотим еще раз подчеркнуть эту характерную черту нашего анализа прохождения волн по трубе — появление мнимого волнового числа k z . Когда, решая уравнение в физике, мы получаем мнимое число, то это обычно ничего физического не означает. Для волн , однако, мнимое волновое число действительно нечто означает. Волновое уравнение по-прежнему удовлетворяется; оно только означает, что решение приводит к экспоненциально убывающему полю вместо распространяющихся волн. Итак, если в любой задаче на волны k при какой-то частоте становится мнимым, это означает, что форма волны меняется — синусоида переходит в экспоненту.

Та скорость волн, о которой мы пока говорили,— это фазовая скорость, т. е. скорость узлов волны; она есть функция частоты. Если подставить (24.17) в (24.18), то можно написать

(24.25)

Для частот выше граничной (для которых бегущая волна существует) ω c/ω меньше единицы, v фаз— действительное число, большее скорости света. Мы уже видели в гл. 48 (вып. 4), что фазовые скорости, большие скорости света, возможны, потому что это просто движутся узлы волн, а не энергия и не информация. Чтобы узнать, как быстро движутся сигналы , надо подсчитать быстроту всплесков или модуляций, вызываемых интерференцией волн одной частоты с одной или несколькими волнами слегка иных частот [см. гл. 48 (вып. 4)]. Скорость огибающей такой группы волн мы назвали волновой скоростью; это не ω/k, а d ω/ dk :

(24.26)

Дифференцируя (24.17) по ω и переворачивая, чтобы получить d ω/ dk , получаем

(24.27)

Это меньше скорости света.

Среднее геометрическое между v фази v грв точности равно с — скорости света:

(24.28)

Это любопытно, ведь сходное соотношение мы встречали и в квантовой механике. У частицы с любой скоростью (даже у релятивистской) импульс р и энергия U связаны соотношением

(24.29)

Но в квантовой механике энергия — это ℏω, а импульс —это ℏ /λ, или ℏ k ; значит, (24.29) можно записать так:

(24.30)

или

(24.31)