Ричард Фейнман - Том 2. Электромагнетизм и материя

Начнем с прямоугольной трубы, ее проще всего анализировать. Сперва изложим все математически, а потом еще раз вернемся назад и рассмотрим вопрос более элементарно. Но этот более элементарный подход легко применить лишь к прямоугольным трубам. Основные же явления в любой трубе одни и те же, так что математические доводы звучат более основательно.

Поставим перед собой следующий вопрос: какого типа волны могут существовать в прямоугольной трубе? Выберем сначала удобные оси координат: ось z направим вдоль трубы, а оси х и у — вдоль стенок (фиг. 24.3).

Фиг. 24.3. Выбор осей координат для прямоугольного волновода.

Известно, что когда волны света бегут по трубе, их электрическое поле поперечно; поэтому начнем с поиска таких решений, в которых Еперпендикулярно z , скажем решений с одной только y -компонентой Е y(фиг. 24.4,а).

Фиг. 24.4. Электрическое поле в волноводе при некотором значении z.

Это электрическое поле должно как-то меняться поперек волновода; действительно, ведь оно должно обратиться в нуль на сторонах, параллельных оси у : токи и заряды в проводнике устраиваются всегда так, чтобы на его поверхности не осталось никаких касательных составляющих электрического поля. Значит, график Е y от х должен напоминать некоторую дугу (фиг. 24.4,б). Может быть, это найденная нами для полости функция Бесселя? Нет, функции Бесселя появляются только в задачах с цилиндрической симметрией. При прямоугольных сечениях волны — это обычные гармонические функции, что-нибудь вроде sin k x x .

Раз мы ищем волны, которые бегут вдоль трубы, то следует ожидать, что поле как функция z будет колебаться между положительными и отрицательными значениями (фиг. 24.5) и что эти колебания будут бежать вдоль трубы с какой-то скоростью v.

Фиг. 24.5. Зависимость поля в волноводе от z.

Если имеются колебания с определенной частотой ω, то надо испытать, может ли волна меняться по z как cos(ω t — k z z ) или, в более удобной математической форме, как е i (ω t - k z z ). Такая зависимость от z представляет волну, бегущую со скоростью v =ω/ k z [см. гл. 29 (вып. 3)].

Значит, можно допустить, что волна в трубе имеет следующую математическую форму:

(24.12)

Давайте-ка поглядим, можно ли при таком допущении удовлетворить правильным уравнениям поля. Во-первых, электрическое поле не должно иметь составляющих, касательных к проводнику. Для этого наше поле подходит; вверху и внизу оно направлено поперек стенок, а с боков равно нулю. Впрочем, для последнего необходимо, чтобы полволны sin k x x как раз укладывалось на всей ширине волновода, т. е. чтобы было

(24.13)

Это условие определяет k x . Есть и иные возможности, например k x a =2π, 3π, ... или в общем случае

(24.14)

где n — целое. Все они представляют различные сложные расположения полей, но мы дальше будем говорить о самом простом, когда k x =π/ a , а a — внутренняя ширина трубы.

Далее, дивергенция Ев пустом пространстве внутри трубы должна быть равна нулю, потому что в трубе нет зарядов. У нашего Еесть только y -компонента, но по у она не меняется, так что действительно ∇·Е=0.

Наконец, наше электрическое поле должно согласовываться с остальными уравнениями Максвелла для пустого пространства внутри трубы. Это все равно, что потребовать, чтобы оно удовлетворяло волновому уравнению

(24.15)

Нам надо проверить, подойдет ли сюда выбранная нами форма (24.12). Вторая производная Е yпо х просто равна —k х 2Е у. Вторая производная по у равна нулю, потому что от у ничего не зависит. Вторая производная по z есть —k z 2E y, а вторая производная по t это —ω 2Е y. Тогда уравнение (24.15) утверждает, что

Если Е y не обращается всюду в нуль (этот случай нас не очень интересует), то это уравнение выполняется всегда, если

(24.16)

Число k x мы уже закрепили, так что это уравнение говорит нам, что волны предположенного нами типа возможны лишь тогда, когда k z связано с частотой ω условием (24.16), т. е. когда

(24.17)

Волны, которые мы описали, распространяются в направлении z с таким значением k z .

Волновое число k z, которое мы получили из (24.17), дает нам при данной частоте ω скорость, с которой бегут вдоль трубы узлы волны. Фазовая скорость равна

(24.18)

Вспомните теперь, что длина λ, бегущей волны дается формулой λ=2π v /ω, так что k z также равняется 2π/λ g , где λ g— длина волны осцилляции в направлении z — «длина волны в волноводе». Длина волны в волноводе, конечно, отличается от длины электромагнитных волн той же частоты, но в пустом пространстве. Если длину волны в пустом пространстве обозначить λ 0(что равно 2πс/ω), то (24.17) можно переписать в таком виде:

(24.19)

Кроме электрических полей, существуют и магнитные поля, которые тоже движутся волнообразно. Мы не будем сейчас заниматься выводом выражений для них. Ведь c 2 ∇× B=∂ E/∂ t , и линии Вциркулируют вокруг областей, где ∂ E/∂ t — наибольшее, т. е. на полпути между максимумом и минимумом Е. Петли Влежат параллельно плоскости xz и между гребнями и впадинами Е(фиг. 24.6).