Ричард Фейнман - Том 2. Электромагнетизм и материя

Предположим, что мы взяли прямоугольный брусок длиной l , шириной w и высотой h (фиг. 38.1).

Фиг. 38.1. Растяжение бруска под действием однородной нагрузки.

Если мы потянем за его конец с силой F , то его длина увеличится на Δ l . Во всех случаях мы будем предполагать, что изменение длины составляет малую долю от первоначальной. На самом деле материалы, подобные стали или дереву, разрушаются еще до того, как изменение длины достигнет нескольких процентов от первоначального значения. Опыты показывают, что для большого числа материалов при достаточно малых удлинениях сила пропорциональна удлинению

(38.1)

Это соотношение известно как закон Гука .

Удлинение бруска Δl зависит и от его длины. Это можно продемонстрировать следующими рассуждениями. Если мы скрепим вместе два одинаковых бруска конец к концу, то на каждый будет действовать одна и та же сила и каждый из них удлинится на Δl. Таким образом, удлинение бруска длиной 2 l будет в два раза больше удлинения бруска того же поперечного сечения, но длиной l . Чтобы получить величину, полнее характеризующую сам материал и менее зависящую от формы образца, будем оперировать отношением Δl/l (удлинение к первоначальной длине). Это отношение пропорционально силе, но не зависит от l :

(38.2)

Сила F зависит также от площади сечения бруска. Предположим, что мы поставили два бруска бок о бок. Тогда для данного удлинения Δ l мы должны приложить силу F к каждому бруску, или для комбинации двух брусков требуется вдвое большая сила. При данной величине растяжения сила должна быть пропорциональна площади поперечного сечения бруска А . Чтобы получить закон, в котором коэффициент пропорциональности не зависит от размеров тела, мы для прямоугольного бруска будем писать закон Гука в виде

(38.3)

Постоянная Y определяется только свойствами природы материала; ее называют модулем Юнга . (Обычно модуль Юнга обозначается буквой Е , но эту букву мы уже использовали для электрического поля, для энергии и для э. д. с., так что теперь лучше взять другую.)

Силу, действующую на единичной площади , называют напряжением , а удлинение участка, отнесенное к его длине, т. е. относительное удлинение называют деформацией . Уравнение (38.3) можно переписать следующим образом:

(38.4)

При растяжении, подчиняющемуся закону Гука, возникает еще одно осложнение: если брусок материала растягивается в одном направлении, то под прямым углом к растяжению он сжимается . Уменьшение толщины пропорционально самой толщине w и еще отношению Δl/l. Относительное боковое сжатие одинаково как для ширины, так и для его высоты и обычно записывается в виде

(38.5)

где постоянная σ характеризует новое свойство материала и называется отношением Пуассона . Это число положительное до знаку, по величине меньше 1/ 2. (То, что постоянная σ в общем случае должна быть положительной, «разумно», но ниоткуда не следует, что она должна быть такой.)

Две константы Y и σ полностью определяют упругие свойства однородного изотропного (т. е. некристаллического) материала. В кристаллическом материале растяжение и сокращение в разных направлениях может быть различным, поэтому и упругих постоянных может быть гораздо больше. Временно мы ограничим наши обсуждения однородными изотропными материалами, свойства которых могут быть описаны постоянными σ и Y. Как обычно, существует множество способов описания свойств.

Некоторым, например, нравится описывать упругие свойства материалов другими постоянными. Но таких постоянных всегда берется две, и они могут быть связаны с нашими σ и Y.

Последний общий закон, который нам нужен, — это принцип суперпозиции. Поскольку оба закона (38.4) и (38.5) линейны в отношении сил и перемещений, то принцип суперпозиции будет работать. Если при одном наборе сил вы получаете некоторое дополнительное перемещение, то результирующее перемещение будет суммой перемещений, которые бы получились при независимом действии этих наборов сил.

Теперь мы имеем все необходимые общие принципы: принцип суперпозиции и уравнения (38.4) и (38.5), т. е. все, что нужно для описания упругости. Впрочем, с таким же правом можно было заявить: у нас есть законы Ньютона, и это все, что нужно для механики. Или, задавшись уравнениями Максвелла, мы имеем все необходимое для описания электричества. Оно, конечно, так; из этих принципов вы действительно можете получить почти все, ибо ваши теперешние математические возможности позволяют вам продвинуться достаточно далеко. Но мы все же рассмотрим лишь некоторые специальные приложения.

В качестве первого примера посмотрим, что происходит с прямоугольным бруском при однородном гидростатическом сжатии. Давайте поместим брусок в резервуар с водой. При этом возникнет сила, действующая на каждую грань бруска и пропорциональная его площади (фиг. 38.2).

Фиг. 38.2. Брусок под действием равномерного гидростатического давления.

Поскольку гидростатическое давление однородно, то напряжение (сила на единичную площадь) на каждой грани бруска будет одним и тем же. Прежде всего найдем изменение длины бруска. Его можно рассматривать как сумму изменений длин, которые происходили бы в трех независимых задачах, изображенных на фиг. 38.3.

Фиг. 38.3. Гидростатическое давление равно суперпозиции трех сжатий.