Ричард Фейнман - Том 2. Электромагнетизм и материя

(6.30)

Мы определили эту силу очень легко, без интегрирования по отрицательным зарядам.

А какие еще поверхности, кроме плоскости, имеют простое решение? Самая простая из них — сфера. Попробуем определить поля вокруг металлической сферы с точечным зарядом q вблизи нее (фиг. 6.11).

Фиг. 6.11. Точечный заряд q наводит на заземленной проводящей сфере заряды, которые создают поле, такое же, как у заряда-изображения, помещенного в указанной точке.

Придется поискать простую физическую задачу, для которой сфера есть эквипотенциальная поверхность. Если мы просмотрим те задачи, которые уже решены, то увидим, что у поля двух неравных точечных зарядов одна из эквипотенциальных поверхностей как раз и есть сфера. Отметим себе это! Если мы как следует подберем положение заряда-изображения и нужную его величину, может быть, тогда мы и сможем подогнать эквипотенциальную поверхность к нашей сфере. Это и впрямь может быть сделано, если действовать по следующему рецепту.

Положим, что вы хотите, чтобы эквипотенциальная поверхность была сферой радиуса а с центром, отстоящим от заряда q на расстояние b. Поместите изображение заряда величины q'=- q ( a / b ) на радиусе, проходящем через заряд на расстоянии a 2/ b от центра. Потенциал сферы пусть будет нуль.

Математически причина состоит в том, что сфера есть геометрическое место точек, отношение расстояний которых от двух данных точек постоянно. Как следует из фиг. 6.11, потенциал в точке Р от зарядов q и q ' пропорционален сумме

и будет равен нулю во всех точках, для которых

Если мы помещаем q ' на расстоянии а 2/ b от центра, то отношение r 2/r 1равно постоянной величине a/b. Тогда если

(6.31)

то сфера станет эквипотенциалью. Потенциал ее на самом деле будет равен нулю.

А что, если нам понадобится сфера с ненулевым потенциалом? Ведь он равен нулю только тогда, когда ее суммарный заряд случайно окажется равным q '! Конечно, если ее заземлить, то наведенные на ней заряды окажутся в точности такими, как надо. Ну, а если она заизолирована и мы не снабдили ее никаким зарядом? Или снабдили ее зарядом Q≠q'? Или она находится под напряжением, не равным нулю? Такие вопросы разрешаются сходу. Всегда ведь можно добавить в центр сферы точечный заряд q ". По принципу наложения сфера всегда останется эквипотенциальной, а изменится только величина потенциала.

Если у нас, скажем, есть проводящая сфера, предварительно разряженная и изолированная от всего, и мы поднесли к ней положительный заряд q , то суммарный заряд сферы останется равным нулю. Решение можно найти, взяв тот же, что и прежде, заряд-изображение q ' и вдобавок к нему заряд в центре сферы, такой, что

(6.32)

Поля повсюду вне сферы будут получаться наложением полей от q, q' и q". Задача решена.

Теперь ясно, что между сферой и точечным зарядом q должна существовать сила притяжения. Она не пропадает, даже если сфера нейтральна, на ней нет никакого заряда. Откуда же берется притяжение? Когда вы подносите к проводящей сфере положительный заряд, то он притягивает отрицательные заряды на ближний конец сферы, положительные же оставляет на дальнем. А притяжение отрицательными зарядами перевешивает отталкивание положительными; в итоге остается притяжение. Силу его можно прикинуть, подсчитав силу, действующую на q в поле, созданном q' и q". Суммарная сила равна силе притяжения между зарядами q и q '=-( a / b ) q на расстоянии b-(а 2/b) плюс сила отталкивания q и заряда q "=+( a / b ) q на расстоянии b.

Если вы в детстве любили разглядывать журнал, на обложке которого был показан мальчик, разглядывающий журнал, на обложке которого показан мальчик, разглядывающий журнал, на обложке которого..., то вас заинтересует и следующая задача. Две одинаковые сферы, одна с зарядом +Q, а другая с зарядом - Q , расположены на некотором расстоянии друг от друга. Какова сила притяжения между ними? Задача решается при помощи бесконечного количества изображений. Первое приближает каждую сферу зарядом в ее центре. Эти заряды создают свои изображения на другой сфере. У изображений в свою очередь есть свои изображения и т. д., и т. д., и т. д. Решение здесь — все равно что картинка на обложке. Сходится оно очень быстро.

Теперь обратимся к другому роду задач, связанных с проводниками. Рассмотрим две широкие металлические пластины, параллельные между собой и разделенные узким (по сравнению с их размерами) промежутком. Предположим, что пластины наэлектризованы равными, но противоположными зарядами. Заряды одной пластины будут притягивать к себе заряды другой и потом равномерно распределятся на внутренней поверхности пластин. Пусть поверхностная плотность зарядов на пластинах будет +σ и -σ соответственно (фиг. 6.12).

Фиг. 6.12. Плоский конденсатор.

Из гл. 5 мы знаем, что поле между пластинами равно σ/ε 0, а поле снаружи пластин равно нулю. Пластины обладают неравными потенциалами φ 1и φ 2. Их разности V удобно дать особое имя, ее часто называют «напряжением»

[некоторые обозначают буквой V потенциал, мы же его обозначили буквой φ].

Разность потенциалов V — это работа (на единицу заряда), требуемая для переноса небольшого заряда с одной пластины на другую, так что

(6.33)

где ± Q — суммарный заряд каждой пластины, А — ее площадь, d — щель между пластинами.

Мы видим, что напряжение пропорционально заряду. Эта пропорциональность между V и Q соблюдается для любых двух проводников в пространстве, если на одном из них имеется плюс-заряд, а на другом равный ему минус-заряд. Разность потенциалов между ними, т. е. напряжение, оказывается пропорциональной заряду. (Мы предполагаем, что вокруг нет никаких других зарядов.)