Ричард Фейнман - Том 2. Электромагнетизм и материя

Почему возникает эта пропорциональность? Просто из-за принципа наложения. Пусть нам известно решение для одной совокупности зарядов, а потом мы наложим на него другое такое же решение. Заряды удвоятся, поля удвоятся, работа переноса заряда от точки к точке тоже удвоится. По этой причине разность потенциалов двух точек пропорциональна заряду. В частности, разность потенциалов двух проводников пропорциональна их зарядам. Эту пропорциональность когда-то решили записывать иначе. И стали писать

где С — постоянное число. Этот коэффициент пропорциональности назвали емкостью , а систему двух проводников — конденсатором . Для нашего конденсатора из параллельных пластин

(6.34)

Эта формула неточна, потому что поле в противоречии с нашим предположением на самом деле не всюду однородно. Поле не кончается сразу на ребрах пластин, а похоже скорее на то, что изображено на фиг. 6.13.

Фиг. 6.13. Электрическое поле у краев двух параллельных пластин.

Суммарный заряд тоже равен не σ А , как мы предположили; существует маленькая поправка на краевой эффект. Чтобы знать, какова она, надо точнее рассчитать поле и посмотреть, что происходит на краях. Это очень сложная математическая задача, однако ее можно решить при помощи техники, о которой мы, впрочем, говорить здесь не будем. Расчеты показывают, что плотность зарядов возле края пластин слегка возрастает. Это значит, что емкость пластин чуть выше, чем мы думали. [Хорошее приближение для емкости можно получить, если в уравнении (6.34) принять за А площадь, которую имели бы пластины, если б их расширили на 3/ 8расстояния между ними.]

Мы говорили пока только о емкости двух проводников. Иногда люди говорят о емкости предмета самого по себе. Так, говорят, что емкость сферы радиусом а есть 4πε 0 а . При этом подразумевается, что вторым полюсом является сфера бесконечного радиуса, т. е. что если на сфере помещен заряд +Q, то противоположным зарядом - Q обладает бесконечно большая сфера. Можно говорить также о емкостях и тогда, когда проводников три или больше трех, но обсуждение этого вопроса мы отложим до лучших времен.

Пусть нам необходимо иметь конденсатор очень большой емкости. Большую емкость можно получить, взяв очень большую площадь и очень малый промежуток. Можно проложить алюминиевые ленты провощенной бумагой и смотать их в трубку. (Поместив ее в пластмассовую упаковку, мы получим типичный радиоконденсатор.) Зачем они нужны? Они пригодны для того, чтобы накапливать заряд. Если бы мы захотели, например, собрать заряд на каком-то шаре, то его потенциал быстро подскочил бы, а вскоре так поднялся бы, что заряды стали бы стекать в воздух, и от шара посыпались бы искры. Но если тот же заряд поместить внутрь конденсатора большой емкости, то напряжение близ конденсатора будет очень малым.

Во многих электронных схемах полезно иметь устройство, способное поглощать или выделять большие количества зарядов, заметно не изменяя потенциал. Вот конденсатор (или «емкость»)— как раз такое устройство. Он имеет множество применений и в электронных приборах и в счетных машинах. Там он используется для получения определенного изменения в напряжении в ответ на то или иное изменение заряда. С подобным применением мы уже познакомились в вып. 2, гл. 23, когда описывали свойства резонансных контуров.

Из определения С мы получаем, что единица емкости есть кулон / вольт . Эту единицу называют также фарадой ( ф ). А вглядевшись в уравнение (6.34), мы видим, что ε 0можно выразить в фарадах / метр ( ф / м ); эта единица обычно и применяется.

Типичные емкости конденсаторов лежат в интервале от 1 микромикрофарады ( мкмкф ) [или, что тоже самое, 1 пикофарады (1 пф )] до миллифарад. Небольшие конденсаторы на несколько пикофарад используются в высокочастотных контурах настройки, а емкости порядка сотен или тысяч микрофарад мы находим в силовых фильтрах. Пара обкладок с площадью 1 см 2с промежутком 1 мм имеет емкость примерно 1 пф .

Сейчас мы качественным образом рассмотрим некоторые характеристики полей вокруг проводников. Зарядим электричеством проводник, но на сей раз не сферический, а такой, у которого есть острие или ребро (например, в форме, изображенной на фиг. 6.14).

Фиг. 6.14. Электрическое поле у острого края проводника очень велико.

Тогда поле в этом месте окажется намного сильнее, чем в других местах. Причина в общих чертах состоит в том, что заряды стремятся как можно шире растечься по поверхности проводника, а кончик острия всегда отстоит дальше всего от остальной поверхности. Поэтому часть зарядов на пластине течет к острию. Относительно малое количество заряда на нем может создать большую поверхностную плотность , а высокая плотность означает сильное поле близ проводника в этом месте.

Вообще в тех местах проводника, в которых радиус кривизны меньше, поле оказывается сильнее. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим комбинацию из большой и маленькой сфер, соединенных проводом, как показано на фиг. 6.15.

Фиг. 6.15. Поле остроконечного предмета можно приближенно считать полем двух сфер одинакового потенциала.

Сам провод не будет сильно влиять на внешние поля; его дело — уравнять потенциалы сфер. Возле какого шара поле окажется более напряженным? Если радиус левого шара а, а заряд Q, то его потенциал примерно равен

(Конечно, наличие одного шара скажется на распределении зарядов на другом, так что на самом деле ни на одном из них заряды не будут распределены симметрично. Но если нас интересует лишь примерная величина поля, то можно пользоваться формулой для потенциала сферического заряда.) Если меньший шар радиусом b обладает зарядом q , то его потенциал примерно равен