Ричард Фейнман - Том 2. Электромагнетизм и материя

Мы рассмотрели обходный путь решения таких задач, при котором сначала отыскивают эквипотенциальные поверхности некоторого заданного распределения зарядов и потом одну из них заменяют проводящей поверхностью. Таким манером можно составить каталог частных решений для проводников любой формы, плоской, сферической и т. п. Использование изображений, описанное в гл. 6, является примером косвенного способа решения. Другой такой способ мы опишем в этой главе.

Если наша задача не относится к тем, для которых годен обходный путь, приходится решать ее в лоб. Математической основой такого способа решения задач является решение уравнения Лапласа

(7.1)

при условии, что потенциал φ на некоторой границе (поверхностях проводников) равен условленной константе. Задачи, связанные с решением дифференциального уравнения поля, удовлетворяющего некоторым граничным условиям , называются задачами о граничных значениях . Они явились предметом интенсивного математического изучения. Для сложных проводников общих аналитических методов решения нет. Даже такая простая задача, как поле заряженного металлического цилиндра с запаянными торцами — консервной банки, представляет огромные математические трудности. Ее можно решить лишь приближенно, численным методом. Единственный общий метод решения — численный.

Имеется несколько задач, в которых уравнение (7.1) все же решается. К примеру, задача о заряженном проводнике, имеющем форму эллипсоида вращения, может быть решена с помощью некоторых специальных функций. Решение для тонкого диска тогда можно получить, бесконечно сплющив эллипсоид. А бесконечно вытянув тот же эллипсоид, получим поле заряженной иглы. Но надо подчеркнуть, что единственный прямой способ, применимый всюду и всегда, это путь численных расчетов.

Задачу о граничных значениях можно также решать на ее физическом аналоге. Уравнение Лапласа возникает во многих физических ситуациях: при изучении установившегося потока тепла, безвихревого течения жидкости, отклонений упругой мембраны. Часто можно соорудить физическую модель, являющуюся аналогом решаемой нами электрической задачи. Измерив в модели величину, аналогичную интересующей нас, можно узнать решение задачи. Примером аналоговой техники является применение электролитической ванны для решения двумерных задач электростатики. Решение удается потому, что дифференциальное уравнение для потенциала в однородной проводящей среде такое же, как и в вакууме.

Имеется много физических задач, в которых физические поля в каком-то одном направлении не изменяются или этим изменением можно пренебречь по сравнению с изменениями в двух других направлениях. Такие задачи называют двумерными; поле зависит только от двух координат. Скажем, если вдоль оси z протянуть длинную заряженную проволоку, то в точках неподалеку от нее электрическое поле зависит от x и y, а не от z; задача двумерная. Так как в двумерных задачах ∂φ/∂ z =0, то уравнение для φ в свободном пространстве имеет вид

(7.2)

Поскольку двумерное уравнение сравнительно простое, то существует широкий класс условий, в которых оно решается аналитически. Действительно, существует могучая математическая техника, связанная с теоремами теории функций комплексного переменного. К изложению ее мы сейчас и перейдем.

Комплексная величина ℨ определяется так:

(Не перепутайте ℨ с координатой z; координата z не встретится в дальнейшем, потому что зависимости полей от z не будет.) Тогда каждой точке на плоскости ( х, у ) отвечает комплексное число ℨ. Мы можем считать ℨ особой (комплексной) переменной величиной и с ее помощью записывать обычные математические функции F(ℨ). Например,

или

или

Если дана некоторая определенная функция F ( ℨ ), то можно подставить ℨ= x + iy ; получится функция от х и у с действительной и мнимой частями. Например,

(7.3)

Любую функцию F (ℨ) можно записать в виде суммы чисто действительной и чисто мнимой частей, и каждая из частей будет функцией от х и у :

(7.4)

где U ( x, у ) и V ( x, у ) — действительные функции. Значит, из любой комплексной функции F ( ℨ ) можно произвести две новые функции U ( х, у ) и V ( x,y ). К примеру, F(ℨ)=ℨ 2дает две функции:

(7.5)

и

(7.6)

Мы подошли сейчас к удивительной математической теореме, столь прекрасной, что доказательство ее придется отложить до соответствующего математического курса. (Если мы начнем заранее приоткрывать все тайны математики, она покажется вам потом скучной.) Теорема эта состоит вот в чем. Для любой «нормальной» функции (что это такое, математики вам объяснят лучше) функции U и V автоматически удовлетворяют соотношениям

(7.7)

и

(7.8)

Отсюда немедленно следует, что каждая из функций U и V удовлетворяет уравнению Лапласа:

(7.9)

(7.10)

Сразу видно, что для функций (7.5) и (7.6) эти уравнения выполняются.

Значит, всегда, отправившись от какой угодно обычной функции, можно прийти к двум функциям U ( х, у ) и V ( х, у ), которые обе есть решения двумерного уравнения Лапласа. Каждая функция представляет некоторый электростатический потенциал. Любая выбранная нами функция F( ℨ ) обязана снабдить нас решением какой - то задачи из электростатики, вернее даже двух задач, потому что решением является как U, так и V . Так можно выписать сколько угодно решений: просто напридумывать множество функций и останется только найти задачи с такими решениями. Такой подход к задачам вполне допустим, хоть он и производится задом наперед.