Ричард Фейнман - Том 2. Электромагнетизм и материя

(10.4)

Вообще говоря, Рбудет меняться в диэлектрике от точки к точке. Но в каждой точке Рпропорционален электрическому полю Е. Константа пропорциональности, которая определяется тем, насколько легко можно сместить электрон, зависит от сорта атомов в материале.

О том, что действительно определяет поведение этой константы и степень ее постоянства для больших полей, а также о том, что происходит внутри разных материалов, мы поговорим позже. А пока мы просто предположим, что существует какой-то механизм, благодаря которому индуцируется дипольный момент, пропорциональный электрическому полю.

Посмотрим теперь, что дает эта модель для конденсатора с диэлектриком. Рассмотрим сначала лист материала, в котором на единицу объема приходится дипольный момент Р. Получится ли в результате в среднем какая-нибудь плотность зарядов? Нет, если Рпостоянен.

Если положительные и отрицательные заряды, смещенные относительно друг друга, имеют одну и ту же среднюю плотность, то сам факт их смещения не приводит к появлению суммарного заряда внутри объема. С другой стороны, если бы Рв одном месте был больше, а в другом меньше, то это означало бы, что в некоторые области попало больше зарядов, чем оттуда вышло; тогда мы бы могли получить объемную плотность заряда. В случае плоского конденсатора предположим, что Р— величина постоянная, поэтому достаточно будет только посмотреть, что происходит на поверхностях. На одной поверхности отрицательные заряды (электроны) эффективно выдвинулись на расстояние δ, а на другой поверхности они сдвинулись внутрь, оставив положительные заряды снаружи на эффективном расстоянии δ. Возникает, как показано на фиг. 10.5, поверхностная плотность зарядов, которую мы будем называть поляризационным зарядом .

Фиг. 10.5. Диэлектрик в однородном поле. Положительные заряды сместились на расстояние δ относительно отрицательных.

Этот заряд можно подсчитать следующим образом. Если площадь пластинки равна А , то число электронов, которое окажется на поверхности, есть произведение А и N (числа электронов на единицу объема), а также смещения δ, которое, как мы предполагаем, направлено перпендикулярно к поверхности. Полный заряд получится умножением на заряд электрона q e . Чтобы найти поверхностную плотность поляризационных зарядов, индуцируемую на поверхности, разделим на А . Величина поверхностной плотности зарядов равна

Но она равна как раз длине Р вектора поляризации Р[формула (10.4)]:

(10.5)

Поверхностная плотность зарядов равна поляризации внутри материала. Поверхностный заряд, конечно, на одной поверхности положителен, а на другой отрицателен.

Предположим теперь, что наша пластинка служит диэлектриком в плоском конденсаторе. Пластины конденсатора также имеют поверхностный заряд (который мы обозначим σ своб, потому что заряды в проводнике могут двигаться «свободно» куда угодно). Конечно, это тот самый заряд, который мы сообщили конденсатору при его зарядке. Следует подчеркнуть, что σ полсуществует только благодаря σ своб. Если, разрядив конденсатор, удалить σ своб, то σ полтакже исчезнет, но он не стечет по проволоке, которой разряжают конденсатор, а уйдет назад внутрь материала, за счет релаксации поляризации в диэлектрике.

Теперь мы можем применить теорему Гаусса к поверхности S , изображенной на фиг. 10.1. Электрическое поле Е в диэлектрике равно полной поверхностной плотности зарядов, деленной на ε 0. Очевидно, что σ поли σ свобимеют разные знаки, так что

(10.6)

Заметьте, что поле Е 0между металлической пластиной и поверхностью диэлектрика больше поля Е ; оно соответствует только σ своб. Но нас здесь интересует поле внутри диэлектрика, которое занимает почти весь объем, если диэлектрик заполняет почти весь промежуток между пластинами. Используя формулу (10.5), можно написать

(10.7)

Из этого уравнения мы не можем определить электрическое поле, пока не узнаем, чему равно Р. Здесь мы, однако, предполагаем, что Рзависит от Еи, более того, пропорционально Е. Эта пропорциональность обычно записывается в виде

(10.8)

Постоянная χ (греческое «хи») называется диэлектрической восприимчивостью диэлектрика.

Тогда выражение (10.7) приобретает вид

(10.9)

откуда мы получаем множитель 1/(1+χ), показывающий, во сколько раз уменьшилось поле.

Напряжение между пластинами есть интеграл от электрического поля. Раз поле однородно, интеграл сводится просто к произведению Е и расстояния между пластинами d . Мы получаем

Полный заряд конденсатора есть σ своб А , так что емкость, определяемая формулой (10.2), оказывается равной

(10.10)

Мы объяснили явление, наблюдавшееся на опыте. Если заполнить плоский конденсатор диэлектриком, емкость возрастает на множитель

(10.11)

который характеризует свойства данного материала. Наше объяснение останется, конечно, неполным, пока мы не объясним (а это мы сделаем позже), как возникает атомная поляризация.

Обратимся теперь к чуть более сложному случаю — когда поляризация Рне всюду одинакова. Мы уже говорили, что если поляризация непостоянна, то вообще может возникнуть объемная плотность заряда, потому что с одной стороны в маленький элемент объема может войти больше зарядов, чем выйдет с другой. Как определить, сколько зарядов теряется или приобретается в маленьком объеме?