Ричард Фейнман - Том 2. Электромагнетизм и материя

Условие, что ∇· j=0, означает, что у нас могут быть только заряды, текущие по замкнутым путям. Они могут, например, течь по проводам, образующим замкнутые петли, которые называются цепями . Цепи могут, конечно, содержать генераторы или батареи, поддерживающие ток зарядов. Но в них не должно быть конденсаторов, которые заряжаются или разряжаются. (Мы, конечно, расширим теорию, включив переменные поля, но сначала мы хотим взять более простой случай постоянных токов.)

Обратимся теперь к уравнениям (13.12) и (13.13) и посмотрим, что они означают. Первое говорит, что дивергенция Вравна нулю. Сравнивая его с аналогичным уравнением электростатики, по которому ∇· Е=ρ/ε 0, можно заключить, что магнитного аналога электрического заряда не существует. Не бывает магнитных зарядов , из которых могли бы исходить линии В. Если говорить о «линиях» векторного поля В, то они нигде не начинаются и нигде не оканчиваются. Но тогда откуда же они берутся? Магнитные поля «появляются» в присутствии токов; ротор , взятый от них, пропорционален плотности тока. Когда есть токи, есть и линии магнитного поля, образующие петли вокруг токов. Поскольку линии Вне имеют ни конца, ни начала, они часто возвращаются в исходную точку, образуя замкнутые петли. Но могут возникнуть и более сложные случаи, когда линии не представляют собой простых петель. Однако как бы они ни шли, они никогда не исходят из точек. Никаких магнитных зарядов никто никогда не находил, поэтому ∇· В=0. Это же утверждение справедливо не только для магнитостатики, но справедливо всегда — даже для динамических полей.

Связь между полем Ви токами дается уравнением (13.13). Положение здесь совсем другое, в корне отличное от электростатики, где у нас было ∇× Е=0. Это уравнение означало, что линейный интеграл от Епо любому замкнутому пути равен нулю:

Мы получили этот результат с помощью теоремы Стокса, согласно которой интеграл по любому замкнутому пути от любого векторного поля равен поверхностному интегралу от нормальной компоненты ротора этого вектора (интеграл берется по любой поверхности, натянутой на данный контур).

Фиг. 13.6. Контурный интеграл от тангенциальной составляющей В равен поверхностному интегралу от нормальной составляющей вектора (∇×b).

Применяя эту же теорему к вектору магнитного поля и используя обозначения, показанные на фиг. 13.6, получаем

(13.14)

Найдя rot Виз уравнения (13.13), имеем

(13.15)

Интеграл от jпо S , согласно (13.5), есть полный ток I через поверхность S . Поскольку для постоянных токов ток через S не зависит от формы S , если она ограничена кривой Γ, то обычно говорят о «токе через замкнутую петлю Γ». Мы имеем, таким образом, общий закон: циркуляция Впо любой замкнутой кривой равна току I сквозь петлю, деленному на ε 0с 2:

(13.16)

Этот закон, называемый законом Ампера , играет такую же роль в магнитостатике, как закон Гаусса в электростатике. Один лишь закон Ампера не определяет Вчерез токи; мы должны, вообще говоря, использовать также ∇· В=0. Но, как мы увидим в следующем параграфе, он может быть использован для нахождения поля в тех особых случаях, которые обладают некоторой простой симметрией.

Можно показать, как пользоваться законом Ампера, определив магнитное поле вблизи провода. Зададим вопрос: чему равно поле вне длинного прямолинейного провода цилиндрического сечения? Мы сделаем одно предположение, может быть, не столь уж очевидное, но тем не менее правильное: линии поля Видут вокруг провода по окружности. Если мы сделаем такое предположение, то закон Ампера [уравнение (13.16)] говорит нам, какова величина поля. В силу симметрии задачи поле Вимеет одинаковую величину во всех точках окружности, концентрической с проводом (фиг. 13.7).

Фиг. 13.7. Магнитное поле вне длинного провода с током I.

Тогда можно легко взять линейный интеграл от B·d s. Он равен просто величине В, умноженной на длину окружности. Если радиус окружности равен r, то

Полный ток через петлю есть просто ток I в проводе, поэтому

или

(13.17)

Напряженность магнитного поля спадает обратно пропорционально r, расстоянию от оси провода. При желании уравнение (13.17) можно записать в векторной форме. Вспоминая, что Внаправлено перпендикулярно как I, так и r, имеем

(13.18)

Мы выделили множитель 1/4πε 0с 2, потому что он часто появляется. Стоит запомнить, что он равен в точности 10 -7(в системе единиц СИ) [16] Это и есть магнитная проницаемость пустоты. , потому что уравнение вида (13.17) используется для определения единицы тока, ампера. На расстоянии 1 м ток в 1а создает магнитное поле, равное 2·10 -7 вебер / м 2.

Раз ток создает магнитное поле, то он будет действовать с некоторой силой на соседний провод, по которому также проходит ток. В гл. 1 мы описывали простой опыт, показывающий силы между двумя проводами, по которым течет ток. Если провода параллельны, то каждый из них перпендикулярен полю Вдругого провода; тогда провода будут отталкиваться или притягиваться друг к другу. Когда токи текут в одну сторону, провода притягиваются, когда токи противоположно направлены,— они отталкиваются.