Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

Если мы предполагаем, что теория относительности верна, то частица, покоящаяся в одной инерциальной системе, в другой инерциальной системе может оказаться в равномерном движении. В системе покоя частицы амплитуда вероятности для всех х, у и z одинакова, но зависит от t. Величина амплитуды для всех t одинакова, а фаза зависит от t . Мы можем получить картину поведения амплитуды, если проведем линии равной фазы (скажем, нулевой) как функций х и t . Для частицы в покое эти линии равной фазы параллельны оси х и расположены по оси t на равных расстояниях (показано пунктирными линиями на фиг. 5.1).

Фиг. 5.1. Релятивистское преобразование амплитуды покоящейся частицы в систему х—t.

В другой системе, х ', у ', z ', t ', движущейся относительно частицы, скажем, в направлении х , координаты х ' и t ' некоторой частной точки пространства связаны с х и t преобразованием Лоренца. Это преобразование можно изобразить графически, проведя оси х ' и t ', как показано на фиг. 5.1 [см. гл. 17 (вып. 2), фиг. 17.2]. Вы видите, что в системе х '— t ' точки равной фазы [17] Мы предполагаем, что фазы обязаны иметь одно и то же значение в соответствующих точках в двух системах координат. Впрочем, это весьма тонкое место, поскольку в квантовой механике фаза в значительной степени произвольна. Чтобы до конца оправдать это предположение, нужны более детальные рассуждения, учитывающие интерференцию двух или нескольких амплитуд. вдоль оси t ' расположены на других расстояниях, так что частота временных изменений уже другая. Кроме того, фаза меняется и по х ', т. е. амплитуда вероятности должна быть функцией х '.

При преобразовании Лоренца для скорости v , направленной, скажем, вдоль отрицательного направления х , время t связано со временем t ' формулой

и теперь наша амплитуда меняется так:

В штрихованной системе она меняется в пространстве и во времени. Если амплитуду записать в виде

то видно, что Е ' р = Е 0/√(1- v 2/с 2). Это энергия, вычисленная по классическим правилам для частицы с энергией покоя Е 0, движущейся со скоростью v ; p '= E ' p v / c 2— соответствующий импульс частицы.

Вы знаете, что х μ=( t, х, y , z) и р μ=( Е, p х , p y , p z ) — четырехвекторы, а p μ x μ= Et - р·х—скалярный инвариант. В системе покоя частицы p μ x μпросто равно Et ; значит, при преобразовании в другую систему Et следует заменить на

Итак, амплитуда вероятности для частицы, импульс которой есть р, будет пропорциональна

(5.5)

где Е р — энергия частицы с импульсом р , т. е.

(5.6)

а Е 0, как и прежде, —энергия покоя. В нерелятивистских задачах можно писать

(5.7)

где W p — избыток (или нехватка) энергии по сравнению с энергией покоя М sс 2частей атома. В общем случае в W p должны были бы войти и кинетическая энергия атома, и его энергия связи или возбуждения, которые можно назвать «внутренней» энергией. Тогда мы бы писали

(5.8)

а амплитуды имели бы вид

(5.9)

Мы собираемся все расчеты вести нерелятивистски, так что именно таким видом амплитуд вероятностей мы и будем пользоваться.

Заметьте, что наше релятивистское преобразование снабдило нас формулой для изменения амплитуды атома, движущегося в пространстве, не требуя каких-либо добавочных допущений. Волновое число ее изменений в пространстве, как это следует из (5.9), равно

(5.10)

а, значит, длина волны

(5.11)

Это та самая длина волны, которую мы раньше использовали для частиц с импульсом р . Именно таким путем де-Бройль впервые пришел к этой формуле. Для движущейся частицы частота изменения амплитуды по-прежнему дается формулой

(5.12)

Абсолютная величина (5.9) равна просто единице, так что для частицы, движущейся с определенной энергией , вероятность обнаружить ее где бы то ни было — одна и та же повсюду и со временем не меняется. (Важно отметить, что амплитуда это комплексная волна. Если бы мы пользовались вещественной синусоидой, то ее квадрат от точки к точке менялся бы, что было бы неверно.)

Конечно, мы знаем, что бывают случаи, когда частицы движутся от одного места к другому, так что вероятность зависит от положения и изменяется со временем. Как же нужно описывать такие случаи? Это можно сделать, рассматривая амплитуды, являющиеся суперпозицией двух или большего числа амплитуд для состояний с определенной энергией. Такое положение мы уже обсуждали в гл. 48 (вып. 4), причем именно для амплитуд вероятности! Мы нашли тогда, что сумма двух амплитуд с разными волновыми числами k (т. е. импульсами) и частотами ω (т. е. энергиями) приводит к интерференционным буграм, или биениям, так что квадрат амплитуды меняется и в пространстве, и во времени. Мы нашли также, что эти биения движутся с так называемой «групповой скоростью», определяемой формулой