Ричард Фейнман - Том 3. Квантовая механика

или вот так:

(9.30)

Оба они означают одно и то же. Для частицы со спином 1/ 2в магнитном поле гамильтониан Н дается уравнением (9.8) или (9.13).

Если поле направлено по z, то, как мы уже много раз видели, решение заключается в том, что состояние |ψ>, каким бы оно ни было, прецессирует вокруг оси z (в точности, как если бы взять физическое тело и вращать его как целое вокруг оси z) с угловой скоростью, вдвое большей, чем μ B / ℏ . Все это, конечно, относится и к магнитному полю, направленному под другим углом, ведь физика от системы координат не зависит. Если магнитное поле время от времени как-то сложно меняется, то такое положение вещей можно анализировать следующим образом. Пусть вначале спин был в направлении +z, а магнитное поле — в направлении х . Спин начал поворачиваться. Если выключить x -поле, поворот прекратится. Если теперь включить z-поле, спин начнет поворачиваться вокруг z и т. д. Значит, смотря по тому, как меняются поля во времени, вы можете представить себе, каким будет конечное состояние — по какой оси оно будет направлено. Затем можно отнести это состояние к первоначальным |+> и |-> по отношению к z, пользуясь проекционными формулами, полученными в гл. 8 (или в гл. 4). Если в конечном состоянии спин направлен по (θ, φ), то амплитуда того, что спин будет смотреть вверх, равна cos(θ/2) e - i φ/2, а амплитуда того, что спин будет смотреть вниз, равна sin(θ/2) e + i φ/2. Это решает любую задачу. Таково словесное описание решений дифференциальных уравнений.

Только что описанное решение достаточно общо для того, чтобы справиться с любой системой с двумя состояниями . Возьмем наш пример с молекулой аммиака, на которую действует электрическое поле. Если система описывается на языке состояний | I > и | II >, то уравнения выглядят так:

(9.31)

Вы скажете: «Нет, там, я помню, стояло еще E 0». Неважно, мы просто сдвинули начало отсчета энергий, чтобы Е 0стало равно нулю. (Это всегда можно сделать, изменив обе амплитуды в одно и то же число раз — в exp ( iE 0 T / ℏ ); так можно избавиться от любой постоянной добавки к энергии.) Одинаковые уравнения обладают одинаковыми решениями, поэтому не стоит решать их вторично. Если взглянуть на эти уравнения и на (9.1), то их можно отождествить между собой следующим образом. Состояние |+> обозначим | I >, состояние |-> обозначим | II >. Это вовсе не значит , что мы выстраиваем аммиак в пространстве в одну линию или что |+> и |-> как-то связаны с осью z. Это все делается чисто искусственно. Имеется искусственное пространство, которое можно было бы назвать, например, «модельным пространством молекулы аммиака» или еще как-нибудь иначе. Это просто трехмерная «диаграмма», и направление «вверх» означает пребывание молекулы в состоянии | I >, а направление «вниз» по фальшивой оси z означает пребывание молекулы в состоянии | II >. Тогда уравнения отождествляются следующим образом.

Прежде всего вы видите, что гамильтониан может быть записан через матрицы сигма:

(9.32)

Если сравнить это с (9.1), то μ B z будет соответствовать - А , а μ В х будет соответствовать -μℰ. В нашем «модельном» пространстве возникает, стало быть, постоянное поле В, направленное по оси z . Если есть, кроме этого, электрическое поле ℰ, меняющееся со временем, то у поля Впоявится и пропорционально меняющаяся x -компонента. Таким образом, поведение электрона в магнитном поле с постоянной составляющей в направлении z и колеблющейся составляющей в направлении х математически во всем подобно и точно соответствует поведению молекулы аммиака в осциллирующем электрическом поле . К сожалению, у нас нет времени входить глубже в детали этого соответствия или разбираться в каких-либо технических деталях. Мы только хотели подчеркнуть, что можно сделать так, чтобы все системы с двумя состояниями были аналогичны объекту со спином 1/ 2, прецессирующему в магнитном поле.

Есть множество других интересных для изучения систем с двумя состояниями, и первая, о которой мы бы хотели поговорить, — это фотон. Чтобы описать фотон, нужно сначала задать вектор его импульса. У свободного фотона импульс определяет и частоту, так что указывать особо частоту не придется. Но еще остается одно свойство, именуемое поляризацией. Представьте себе фотон, приходящий к вам с определенной монохроматической частотой (которую во всем нашем обсуждении мы будем считать постоянной, так что можно не говорить о множестве состояний импульса).Тогда существуют два направления поляризации. По классической теории свет обладает, например, либо горизонтально колеблющимся электрическим полем, либо вертикально колеблющимся электрическим полем; этот свет двух сортов называют x -поляризованным и y -поляризованным светом. У света может быть и какое-то иное направление поляризации, его можно создать суперпозицией полей в направлении x и в направлении у . Или, взяв х - и y -компоненты со сдвигом фаз в 90°, получить вращающееся электрическое поле — свет будет поляризован эллиптически. [Это краткое напоминание классической теории поляризованного света, которую мы изучали в гл. 33 (вып. 3).]

Пусть теперь у нас есть одиночный фотон, всего один. Уже нет электрического поля, которое можно было бы рассматривать прежним способом. Один - единственный фотон и ничего больше. Но он тоже должен обладать аналогом классического явления поляризации. Значит, должны существовать по крайней мере два разных сорта фотонов. Сперва могло бы показаться, что их должно быть бесконечное множество, ведь, как бы то ни было, электрический вектор может быть направлен в любую сторону. Однако поляризацию фотона можно описать как систему с двумя состояниями. Фотон может быть либо в состоянии | х >, либо в состоянии | у >. Под | х > подразумевается состояние поляризации каждого из фотонов в пучке света, который классически x -поляризован. А | у > означает состояние поляризации каждого из фотонов в y -поляризованном пучке. Эти | х > и | у > вы можете выбрать в качестве базисных состояний фотона с данным направленным на вас импульсом — импульсом в направлении z . Итак, существуют два базисных состояния | x > и | y >, и их вполне хватает, чтобы описать всякий фотон.