Эрик Роджерс - Физика для любознательных. Том 1. Материя. Движение. Сила

Фиг. 263. Простое гармоническое движение.

При движении наклоняйтесь в направлении к центру отрезка так, чтобы наклон характеризовал ваше ускорение; в конце пути вы должны сильно наклониться в направлении к центру, а пробегая мимо центра с максимальной скоростью, — выпрямиться. В центре отрезка, где вы движетесь быстрее всего , вы не можете двигаться еще быстрее , поэтому ваше ускорение равно нулю. В конце отрезка ваша скорость на какое-то мгновение становится равной нулю, но в то же время она изменяется здесь быстрее всего, ибо сначала скорость направлена от центра, проходит через нуль, затем направление скорости меняется на обратное; в этой точке вы обладаете довольно большим ускорением, направленным к центру отрезка; так подсказывают ваши ноги. (Сопоставьте это с рассмотрением ускорения тела, брошенного под углом к горизонту, в «вершине» его траектории.)

График простого гармонического движения — синусоида

Математика показывает, что зависимость от времени отклонения при простом гармоническом движении, определением которого служит соотношение а= —k 2 s, имеет вид s= A∙sin k t , где A — амплитуда колебания.

На фиг. 264 показана диаграмма движения маятника времени, вычерчиваемая им самим. К нижней части груза маятника прикреплена кисточка, обмакнутая в чернила, которая прочерчивает на равномерно протягиваемой длинной полосе бумаги диаграмму движения маятника во времени.

Фиг. 264. График зависимости отклонений маятника от времени.

На фиг. 265 представлена схема опыта, позволяющего получить такой же график с помощью колеблющегося камертона.

Фиг. 265. Диаграмма движения ножек камертона во времени.

К одной из ножек камертона полоской тонкой целлулоидной пленки прикреплено маленькое зеркальце, позволяющее получить увеличенную картину движения. Когда камертон колеблется, пучок света, отраженный зеркальцем, движется вверх и вниз в пределах некоторого угла и прочерчивает вертикальную полоску на стене. На пути света находится большое зеркало, которое равномерно вращается и развертывает луч на стене по горизонтали, вычерчивая таким образом временную диаграмму движения вверх и вниз от положения равновесия. Камертон — это по существу балка, претерпевающая изгиб, которая имеет форму буквы U. Балка упругая и подчиняется закону Гука, поэтому мы вправе ожидать, что она совершает простые гармонические колебания. Проделанные опыты показывают, что при простом гармоническом движении зависимость смещения от времени изображается синусоидой.

Амплитуда колебаний издающего звук камертона затухает — об этом свидетельствует кривая на стене. Однако частота колебаний сохраняется неизменной, как показывают расстояния между горбами кривой. Грубый удар по камертону молотком приводит к тому, что камертон совершает колебания сразу двух видов и позволяет наблюдать сложное гармоническое движение.

Простое гармоническое движение как проекция движения по окружности

В элементарной тригонометрии определение синуса дается при помощи окружности, и можно легко прийти к выводу, что график синуса изображает проекцию движения по окружности . Поэтому поступим следующим образом: представим себе точку Р , движущуюся с постоянной скоростью по окружности, расположенной в вертикальной плоскости, и будем смотреть на эту окружность сбоку или будем рассматривать движение тени, отбрасываемой точкой Р на вертикальную стенку (фиг. 266).

Фиг. 266. Проекция движения по окружности.

Тогда точка Q (тень точки Р ) будет двигаться вверх и вниз. Можно показать, что график зависимости смещения точки Q от времени представляет собой синусоиду (с уравнением s= A∙sin k t , где А — радиус окружности), а это, как мы знаем, и есть временная зависимость простого гармонического движения. Поэтому проекция движения по окружности представляет собой простое гармоническое движение.

На фиг. 267 и 268 схематически показаны опыты, позволяющие сравнить движение маятника или колеблющейся пружины с проекцией движения по окружности. (Инженерам-электрикам часто приходится иметь дело с переменным током, который представляет собой простые гармонические колебания и графически изображается синусоидой. Чтобы производить свои расчеты в сжатой форме, инженеры представляют такие токи или напряжения вращающимся радиусом-вектором, равным амплитуде тока или напряжения; конец этого радиуса-вектора описывает окружность. При вычислениях оперируют проекциями радиуса-вектора. Это считают само собой разумеющимся и обычно упускают из виду.)

Фиг. 267. Груз маятника движется в такт с проекцией точки, движущейся по кругу.

Фиг. 268. Груз, подвешенный на пружине, движется в такт с проекцией точки, движущейся по кругу.

На вал электрического двигателя (например, небольшого двигателя для электрических часов) насажен рычаг, изогнутый под прямым углом, к концу которого прикреплен шар В ; при вращении двигателя шар описывает окружность. Движение тени, отбрасываемой на стенку шаром S , сравнивается с движением тени от груза небольшого маятника. Если правильно выбрать длину маятника и начальную стадию его колебания, то обе тени будут двигаться строго в такт. Подобным же образом можно добиться того, чтобы движения тени шара В и груза, подвешенного на пружине, все время оставались согласованными.

Различные определения простого гармонического движения

Существует несколько определений простого гармонического движения:

4. Это движение взад и вперед , совершаемое грузом маятника (при малых отклонениях), или движение вверх и вниз , которое совершает груз, подвешенный на пружине (или любая другая система, подчиняющаяся закону Гука).

2. Это возвратно-поступательное движение, при котором ускорение (направленное вдоль траектории движения всегда к центру отрезка перемещения) изменяется прямо пропорционально смещению от центра .