Эрик Роджерс - Физика для любознательных. Том 1. Материя. Движение. Сила

Фиг. 261. Разнообразные системы, совершающие простые гармонические движения.

Механика движения маятника

Чтобы показать, что для груза маятника а ~ s (при малых амплитудах), рассмотрим действующие на него силы. Сила натяжения нити направлена по радиусу и не может изменить скорость груза. Кроме этой силы, на груз действует только притяжение Земли, вес груза, направленный вертикально вниз. Разложим этот вектор на компоненты F 1и F 2:

F 1 направленная вдоль дуги, придает грузу ускорение,

F 2направленная вдоль радиуса, уравновешивает натяжение нити.

Из рассмотрения подобных треугольников (фиг. 262) находим

СИЛА F 1ПРИДАЮЩАЯ УСКОРЕНИЕ / ВЕС Mg= РАССТОЯНИЕ ПО ГОРИЗОНТАЛИ х/ ДЛИНА L

F 1/ Mg = x/ L

Следовательно,

F 1 = Mg∙ x/ L

и

УСКОРЕНИЕ ГРУЗА = СИЛА/МАССА = — F 1/ M= (- Mg∙ x/ L)/ M= — g∙ x/ L

Таким образом, мы установили, что а направлено к положению равновесия и что а ~ х , но мы не получили соотношения a ~ s вдоль траектории движения маятника. При больших отклонениях маятника его движение не является простым гармоническим движением. При малых отклонениях оно почти в точности совпадает с простым гармоническим движением, и х (горизонтальное смещение груза) почти совпадает с криволинейной дугой s (отклонением груза, измеренным вдоль его траектории).

Фиг. 262. Силы, действующие на груз маятника.

В таком случае мы можем перейти от а= —( g/ L)∙ xк а= —( g/ L)∙ s

(обе величины примерно одинаковы для маятника в данном случае), а это и есть наше определение простого гармонического движения: а направлено к положению равновесия и а ~ смещению s .

Мы описываем это свойство выражением

а= — k 2 s,

где k 2— постоянная.

Отсюда можно показать, что период Т дается соотношением

T= 2π/ k

(Это легче всего сделать с помощью математического анализа; см. ниже. Существуют доказательства, в которых не прибегают к математическому анализу, но они ведут к цели обходным и весьма громоздким путем, см. учебники по общей физике.) Поэтому каждый раз, встречая систему, в которой действие сил приводит к соотношению а= —k 2 s, мы можем сразу сказать, что такая система способна совершать простое гармоническое движение с периодом 2π/k .

Простые гармонические движения и закон Гука

Теперь вернемся к замечанию, которое было сделано в задаче 1 .

Предположим, имеется груз, который подвешен на пружине, подчиняющейся закону Гука. Натяжение пружины в точности уравновешивает вес груза, когда он находится в состоянии покоя или когда, совершая колебания, проходит через положение равновесия. Во всех других положениях существует небольшое натяжение (со знаком + или —), пропорциональное удлинению (по закону Гука); оно придает грузу ускорение. Ускорение всегда направлено к положению равновесия и меняется прямо пропорционально смещению от этого положения (по закону Гука). Таким образом, мы имеем соотношение а= —k 2 s, которое как раз и соответствует движению, называемому нами простым гармоническим колебанием.

Период колебания 2π/ k можно вычислить, зная массу груза М и «жесткость» пружины К , равную отношению ( сила )/( удлинение ); это отношение представляет собой постоянную, определяющую наклон прямой, которая выражает закон Гука. Добавочная сила, соответствующая добавочному удлинению s , равна Ks , а сообщаемое ею ускорение равно — k s / M . Следовательно, k 2равно K / M , и Т дается выражением

Т= 2π∙√(ЖЕСТКОСТЬ» ПРУЖИНЫ К/ МАССА М).

Это соотношение позволяет вычислить период простого гармонического колебания. Кроме того, у нас появляется превосходный способ оценить жесткость пружины по измеренному периоду колебаний. Мы пользуемся им, измеряя g с помощью маятника: в этом случае сила земного притяжения дает эквивалентную «жесткость пружины», равную Mg / L . В опыте Кавендиша, который позволяет измерить гравитационную постоянную G (см. гл. 23 [158]), проволока слишком слаба для прямого измерения ее сопротивления закручиванию, поэтому измеряют период крутильных колебаний проволоки, представляющих собой простое гармоническое движение, и вычисляют сопротивление закручиванию.

Простое гармоническое движение — широко распространенный вид движения

Итак, мы можем сказать, что простые гармонические колебания совершает любая система, в которой развивается возвращающая сила, пропорциональная смещению от положения равновесия:

— любой маятник (при малых отклонениях);

— любая система, подчиняющаяся закону Гука (например, пружина, к которой прикреплен груз; балка, подвергаемая изгибу; спиральная пружина, т. е, лента, свернутая в плоскую спираль, которая также подвергается изгибу, и т. д.);

— атомы, удерживаемые в молекуле упругими электрическими силами (задачи об инерционных весах, разбиравшиеся в гл. 7 , по существу содержат рассмотрение простого гармонического движения);

— колебания воздуха при возникновении звуковых волн, например колебания воздуха внутри флейты (график зависимости р от V , соответствующий закону Бойля, непохож на прямую закона Гука, но изменения давления, которые здесь имеют место, очень малы, они укладываются на коротком участке графика, настолько коротком, что его можно практически считать отрезком прямой);

— жидкость в открытой U-образной трубке [159];

— струны музыкальных инструментов.

Мы называем это движение простым гармоническим колебанием, потому что подобные колебания совершаются в музыкальных инструментах, когда берут чистый тон (при этом от музыкальных инструментов исходят соответствующие звуковые волны).

При затухании колебаний период их остается неизменным, волны характеризуются неизменной частотой и мы слышим тот же звук.

Опыт 1.Наблюдая за колебаниями очень длинного маятника, можно лучше уяснить, что такое гармоническое движение. Можно попытаться самому совершать простое гармоническое движение, двигаясь взад и вперед по некоторому отрезку пути (фиг. 263).