Тибо Дамур - Мир по Эйнштейну. От теории относительности до теории струн

Эксперимент с падающим телом, который якобы был проведен на Пизанской башне, является мифом, хотя и хорошо отражает суть инновации Галилея.

Для русского издания см., например: Галилео Галилей. Диалог о двух главнейших системах мира – птолемеевой и коперниковой. – М.: ГИТТЛ, 1948.

Приставка «гипер» добавляется к слову поверхность для подчеркивания, что соответствующая совокупность точек обладает размерностью, меньшей на одно измерение, чем «окружающее пространство», в которое она вложена. Так как данная поверхность вложена в четырехмерное пространство-время, это означает, что она имеет три внутренних измерения (в то время как в обычном трехмерном пространстве поверхность имеет только два измерения). Для обозначения того, что мы называем здесь песочными часами, в математике используется термин «гиперболоид».

Здесь подразумевается то, что в математике называется обобщенным «эллипсоидом».

Используя точный математический термин, речь идет об обобщенном «гиперболоиде».

На самом деле, впоследствии было выяснено, что «принцип общей теории относительности» не имеет физического смысла обобщения «принципа специальной теории относительности». Принцип специальной теории относительности – это принцип симметрии структуры пространства-времени, который гласит, что физика для определенного класса систем отсчета одна и та же , и, таким образом, определенные «соответствующие» явления происходят одинаковым образом в разных системах отсчета (связанных «активными» преобразованиями). В то же время принцип общей теории относительности является принципом безразличия : явления не разворачиваются (в общем случае) одинаковым образом в различных системах координат, но ни одна из (глобальных) систем координат не имеет привилегированного статуса по отношению к другим.

В свете того, что уже было сказано, теорема Пифагора – Эйнштейна в деформированном пространстве-времени, «заданном» четырьмя произвольными координатами x 0, x 1, x 2, x 3, утверждает, что квадрат интервала между двумя бесконечно близкими друг к другу точками (с координатами x 0, x 1, x 2, x 3и x 0+ dx 0, x 1+ dx 1, x 2+ dx 2, x 3+ dx 3) равен сумме слагаемых, пропорциональных квадратам и двойным произведениям (бесконечно малых) координатных дифференциалов: dx 0, dx 1, dx 2, dx 3. В этой сумме содержатся десять слагаемых, поскольку имеются четыре квадрата dx 0² , dx 1² , dx 2² , dx 3² и шесть двойных произведений 2 dx 0 dx 1, 2 dx 0 dx 2, 2 dx 0 dx 3, 2 dx 1 dx 2, 2 dx 1 dx 3и 2 dx 2 dx 3. Коэффициенты при четырех квадратах обозначаются, соответственно, как g 00 , g 11 , g 22и g 33, в то время как коэффициенты при двойных произведениях обозначены через g 01 , g 02, g 03 , g 12 , g 13и g 23. Если мы назовем ds ² бесконечно малым квадратом интервала между двумя рассматриваемыми точками, то можем записать теорему Пифагора – Эйнштейна в виде ds ² = ∑ g µ ν dx µdx ν, где каждый индекс µ или ν принимает четыре значения 0, 1, 2 и 3, а знак ∑ указывает на то, что суммирование производится независимо по двум индексам µ и ν. Эйнштейн упростил эти обозначения (введенные Риманом), заметив, что нет необходимости писать символ ∑, поскольку достаточно лишь неявно подразумевать суммирование по повторяющимся индексам (в данном случае µ и ν). Эйнштейн всегда писал индексы µ и ν как нижние индексы у координат x . Сегодня они пишутся как верхние индексы (хотя в результате этого их иногда можно спутать с показателями). Таким образом, в конечном итоге мы пишем: ds ² = g µ ν( x λ) dx µdx ν, где отмечено, что 10 метрических коэффициентов g µ νявляются функциями четырех координат x λ.

На самом деле математический термин «тензор» (англ. tensor) изначально возник как физический объект, используемый для описания «напряжений» (англ. tensions) в сплошной среде.

Можно показать, что «тензор деформации» математически строится из различных пространственных производных «вектора» смещения желе. В свою очередь, вектор смещения представляет собой набор маленьких стрелок, соединяющих начальные невозмущенные положения материальных точек в желе с их конечными возмущенными положениями.

Оказывается, что для однородной и изотропной среды объект κ лишь немного сложнее, чем простой численный коэффициент пропорциональности. Он состоит из двух численных коэффициентов, называемых коэффициентами упругости Ламе.

Компоненты g µ νпринимают значение +1, когда индексы µ и ν равны друг другу и соответствуют квадрату разности пространственных координат, т. е. когда µ = ν = 1, или 2, или 3. Если использовать в качестве временной координаты x 0= ct , то компонента g 00, отвечающая квадрату временной разности, принимает значение −1 (если же в качестве временной координаты использовать непосредственно t , то g tt = − c ²). Наконец, остальные шесть компонент, отвечающие двойным произведениям, т. е. компоненты g µ ν, в которых µ отличен от ν, будут равны нулю.

Обычно этот тензор обозначается T µ ν, где индексы µ и ν соответствуют используемым координатам x µ с µ = 0, 1, 2, 3. Компонента, соответствующая «квадрату времени», т. е. T 00, измеряет плотность массы-энергии, в то время как чисто пространственные компоненты T ij с индексами i и j, принимающими значения 1, 2, 3, в точности соответствуют тензору напряжений упругой среды.

Однако еще до появления окончательной формулировки теории гравитации он, находясь в Праге, предсказал величину отклонения света, в два раза меньшую конечного результата. Иными словами, он получил 0,875 угловой секунды (значение, которое давала ньютоновская теория тяготения, если учесть, что свет состоит из корпускул) вместо 1,75 угловой секунды, которое будет определено в ноябре 1915 г.

Отметим, что Эйнштейн никогда не использовал выражение «закон упругости пространства-времени», введенное в этой книге. Тем не менее мы считаем, что использование этого образа не искажает, а скорее, проясняет центральную идею его теории.

Речь идет о «тензоре Риччи».

Ханнес Альфвен «Космология: Миф или Наука?» в сборнике «Эйнштейн, книга столетия» под ред. A. Френча (Hannes Alfven, Cosmology: Myth or Science? , dans Einstein, Le Livre du Centenaire (édité sous la direction de A. P. French, version française réalisée par G. Delacôte et J. Souchon-Royer), Paris, Hier et Demain (1979), p. 83). Цитируется Мишелем Бьезунским в книге «Эйнштейн в Париже» (Cité par Michel Biezunski, Einstein à Paris, op. cit. ).