Константин Ефанов - Аппараты с перемешивающими устройствами

Принцип Гамильтона записывается в форме [20]:

( Т и П – кинетическая и потенциальная энергии, W ne – силы демпфирования).

Функционал Лагранжа [20]:

Функционал Лагранжа по принципу Гамильтона при возможных перемещениях удовлетворяет условиям совместности и граничным условиям на контуре в течении времени от t 1 до t 2 и имеет стационарное значение.

Начальное положение для вариационной формулировки МКЭ следует при Т = 0 и W ne = 0 :

Введем зависимости для Т, П и W ne от обобщенных перемещений, скоростей и сил [20]:

После подстановки в интеграл и преобразований получим уравнение движения Лагранжа:

Для конечного элемента объема V [20]

– кинетическая энергия в матричной форме:

– потенциальная энергия (складывающаяся из внутренней энергии деформации, потенциальной энергии внешних объемных и внешних поверхностных сил):

В конечном элементе поле перемещений и деформаций записываются интерполяционными функциями:

Скорость связана с обобщенной скоростью:

Силы демпфирования пропорциональны скоростям (являются неконсервативными):

Обобщенные силы в узлах конечного элемента при допущении о равномерном распределении сил демпфирования в единице объема, записываются формулой:

Формулы для кинетической и потенциальной энергии можно записать после преобразований в виде:

После подстановки записанных формул в первую формулу вариационной формулировки, получается матричная формулировка конечного элемента [20]:

m – матрица масс, c – матрица демпфирования элемента, k – матрица жесткости, Q e – вектор обобщенных сил в узлах конечного элемента.

В результате составляется уравнение движения системы конечных элементов на основе уравнений движения одного (каждого) конечного элемента [20]:

М – матрица масс, С – матрица демпфирования, K – матрица жесткости, Q – вектор обобщённых сил.

__

Собственные колебания вала находят решением последней записанной системы дифференциальных уравнений. Для колебаний без затухания, система запишется в виде [20,с.500]:

Матричное уравнение запишется в виде т.к. :

Уравнение имеет решение при равном нулю детерминанте системы:

Матрица массы конечного элемента записывается формулой:

Для плоского линейного элемента перемещения описываются полиномами Гермита [20,с.491], матрица жесткости запишется:

После преобразований [20]:

Для конечного элемента, показанного на рисунке выше, с нагрузкой вдоль оси и с узлами на концах, с применением линейных интерполяционных функций, матрица масс записывается в виде [20,с.492]:

Запишем формулу для матрицы жесткости.

На рисунке показан стержневой элемент под действием изгиба [20,с.69]:

Вектор параметров перемещений в узлах элемента имеет два перемещения и два вращения:

Перемещение выражается в виде полинома с четырьмя суммированными координатами. Можно записать:

Угол

Перемещения и вращения на концах стержня:

Матрица С [20,с.70]:

Матрица интерполяционных функций, посредством которой вводится связь между перемещениями на краях и для любой точки по оси стержневого элемента: