Константин Ефанов - Аппараты с перемешивающими устройствами

Из приведенной выше теории ясно, что колебания возникают и для идеальной оси, то есть эксцентриситет сам по себе не вызывает поперечных колебаний, но, конечно может влиять на их величину.

По Тимошенко изгиб продолжается до тех пор, пока упругие силы не уравновесят центробежную силу.

Центробежная сила:

Упругая сила:

Приравнивая:

На невысокой угловой скорости с эксцентриситетом близким к нулю, прогиб незначителен. С увеличением ω прогиб увеличивается и при становится .

В этом случае угловая скорость является критической скоростью:

При превышении критической скорости формула равновесия:

(изменился знак между y и e с «+» на «+»).

Формула показывает, что с увеличением частоты, прогиб уменьшается.

После этого Тимошенко [31,с.258] принимает для анализа вала модель, в которой сам вал вращается вокруг своей оси (изогнутой оси) с частотой ω, и плоскость вала вращается вокруг прямой оси с такой же частотой ω.

В этом случае на вал будет действовать сила

Работа центробежной силы:

Из этой формулы получается такая же формула для критической частоты.

Оценивается влияние массы вала на значение критической частоты. Используется метод Релея. Задается вид кривой изгиба вала. Этим система вала преобразуется в систему с одной степенью свободы. Для вала с одной мешалкой ( η – прогиб):

Для нескольких мешалок на валу:

Второй член левой части формулы относится к работе центробежной силы.

Некорректность этих формул в том, что они не учитывают наклон плоскостей мешалок к оси вала.

Наклон мешалок за счет появления моментов сил инерции противодействует изгибу вала, т.е. повышает жесткость и увеличивает значение критической частоты.

Тимошенко [31,с.260] рассматривает вал с 4 дисками:

Горизонтальные силы уравновешиваются, вертикальные силы приводятся к паре сил и силе в плоскости xy . Пара сил:

Все пары приводятся к паре (θ – момент инерции мешалки относительно оси z).

Пара производит работу против искривления оси вала

Формула для определения критической частоты:

Тимошенко называет приведенную формулу общим решением о разыскании критической угловой скорости [31,с.260].

__

По изложенной выше теории поперечных колебаний можно определять собственные частоты колебаний валов для различных конструктивных компоновок перемешивающих устройств, а затем по приведенным выше формулам рассчитывать критические обороты вала.

Тимошенко С.П. в работе [30,с.427] подробно рассмотрел проблему совместного действия изгибных и крутильных колебаний на балку. Для рассматриваемого им случая изгибные колебания проходили не в плоскости симметрии стержня, в результате чего возникают крутильные колебания. В нашем случае крутильные колебания возникают при вращении вала с мешалками. Однако, выводы полученные Тимошенко могут быть применены для анализа совместного действия поперечных и крутильных колебаний вала с мешалками.

Для вертикальной нагрузки кривая прогиба:

(w – интенсивность распределения поперечной нагрузки, за положительное направление принимается верх)

Нагрузку, распределенную вдоль центральной оси заменяют нагрузкой, проходящей через центр сдвига, и распределенный крутящий момент интенсивностью wc .

Крутящий момент:

R – крутильная жесткость, R 1 – жесткость стесненного кручения.

Дифференцируя получается:

Уравнение показывает связь между изгибом и кручением при приложении статической нагрузки вдоль оси.

Интенсивность поперечных сил инерции

Интенсивность моментов инерции

I п – центральный полярный момент инерции сечения вала.

Формулы для совместных изгибных и крутильных колебаний:

Вал колеблется в одной из собственных форм колебаний.

р – круговая частота колебаний,