Ричард Фейнман - 8a. Квантовая механика I

Фиг. 8.9. Пара базисных состояний для молекулы красите­ля фуксин.

В молекуле есть три кольцевые структуры, две из которых — бензольные кольца. Третья не совсем совпадает с бензольным кольцом, потому что внутри кольца в ней только две двойные связи. На рисунке показаны две в равной степени подходящие схемы, и мы догадываемся, что их энергии должны быть равны. Но имеется еще и амплитуда того, что все электроны смогут переброситься из одного состояния в другое, передвинув местоположение «незаполненного» кольца в другой конец. Когда электронов так много, то амплитуда переброса несколько ниже, чем у бензола, и различие в энергиях двух стационарных состояний не так велико. Но тем не менее все равно имеется обычная пара стационарных состояний | I > и | II >, представляющая собой сумму и разность двух базисных состояний, показанных на рисунке. Энергетический промежуток между | I >и | II > оказывается равным энергии фотона в оптической области. Если молекулу осветить, возникает очень сильное поглощение при некоторой частоте и молекула покажет­ся ярко окрашенной. Вот почему она краситель! Другая интересная черта такой молекулы красителя — в двух изображенных базисных состояниях центры электриче­ского заряда расположены в разных местах. В итоге молекула должна быть сильно подвержена действию внешнего электрического поля. Такой же эффект мы наблюдали в молекуле аммиака. Ясно, что его можно анализировать при помощи той же матема­тики, если только известны числа Е 0и А. Их. вообще говоря получают, накапливая опытные данные. Если проделать изме­рения со многими красителями, то часто можно догадаться, что произойдет с какой-то родственной молекулой красителя. Из-за сильного сдвига местоположения центра электрического заряда значение m в формуле (7.55) велико, и вещество обладает большой вероятностью поглощения света с характеристической частотой 2A/h. Значит, вещество не просто окрашено, а окрашено очень густо — малое количество вещества поглощает много света. Скорости переброса (и тем самым А) очень чувствительны ко всей структуре молекулы. Если изменить А, то изменится расщепление энергии и вместе с ним цвет красителя. Кроме того, молекулы не обязаны быть совершенно симметричными. Мы видели, что то же самое основное явление бывает и при не­больших видоизменениях—даже когда имеется небольшая асим­метрия. Небольшого изменения цвета можно добиваться вве­дением в молекулы легких асимметрий. Так, другой важный краситель, малахитовая зелень, очень похож на фуксин, только у него две из имеющихся молекул водорода замещены на СН 3. Цвет выходит другой, потому что А сдвинуто и скорость пере­броса электронов изменилась.

§ 6. Гамильтониан частицы со спином 1 / 2 в магнитном поле

Обратимся теперь еще к одной системе с двумя состоя­ниями. На этот раз нашим объектом будет частица со спином 1/ 2. Кое-что из того, что мы намерены сказать, затрагивалось уже в предыдущих главах, но повторение поможет нам немного прояснить кое-какие темные места. Покоящийся электрон мы можем считать тоже системой с двумя состояниями. Хотя в этом параграфе мы будем толковать об «электроне», но то, что мы выясним, будет справедливо по отношению ко всякой частице со спином 1/ 2.

Предположим, что в качестве наших базисных состояний |1 >и | 2 >мы выбрали состояния, в которых z-компонента спина электрона равна либо +h/2, либо - h/2. Эти состояния, конечно, те же самые состояния (+) и (-), с которыми мы встречались в прежних главах. Чтобы согласовать эти и прежние обозначе­ния, спиновое состояние 1 у мы будем отмечать «плюсом», а спи­новое состояние | 2 у — «минусом», причем «плюс» и «минус» относятся к моменту количества движения в направлении z.

Всякое мыслимое состояние |y>электрона можно описать уравнением (8.1), задав амплитуду С 1того, что электрон нахо­дится в состоянии | 1 >, и амплитуду С 2того, что он находится в состоянии 2у. Для этого нам понадобится гамильтониан нашей системы с двумя состояниями — электрона в магнитном поле. Начнем с частного случая магнитного поля в направле­нии z.

Пусть вектор В имеет только z-компоненту B z . Из определе­ния двух базисных состояний (что их спины параллельны и анти­параллельны В)мы знаем, что они уже являются стационарными состояниями — состояниями с определенной энергией в маг­нитном поле. Состояние | 1 > соответствует энергии, равной — m В z , а состояние | 2 > — энергии +m B z. В этом случае га­мильтониан должен быть очень простым, поскольку на С 1 — амплитуду оказаться в состоянии | 1 > С 2не влияет и наоборот:

В этом частном случае гамильтониан равен

Итак, мы знаем, какой вид имеет гамильтониан, когда магнит­ное поле направлено по z, и знаем еще энергии стационарных состояний.

А теперь пусть поле не направлено по z. Каков теперь га­мильтониан? Как меняются матричные элементы, когда поле не направлено по z? Мы сделаем предположение, что для членов гамильтониана имеется своего рода принцип суперпозиции. Точнее, мы предположим, что если два магнитных поля нала­гаются одно на другое, то члены гамильтониана просто склады­ваются: если нам известно H ij для поля, состоящего из одной только компоненты B z , и известно Н ij для одной только В х , то H ij для поля с компонентами B z , B x получится простым сло­жением. Это бесспорно верно, если рассматриваются только поля в направлении z: если удвоить B z , то удвоятся и все Н ij . Итак, давайте допустим, что Н линейно по полю В. Чтобы найти H ij для какого угодно магнитного поля, больше ничего и не нужно.

Пусть у нас есть постоянное поле В. Мы бы могли провести нашу ось z в направлении поля и обнаружили бы два стационарных состояния с энергиями ±mB. Простой выбор другого направления осей не изменил бы физики дела. Наше описание стационарных состояний стало бы иным, но их энергии по-прежнему были бы ±m B , т. е.