Ричард Фейнман - 8a. Квантовая механика I

§ 5. Состояния в магнитном поле

Теперь займемся формой кривых на фиг. 10.3. Во-первых, если говорить о больших полях, то зависимость энергии от поля довольно интересна и легко объяснима. При достаточно боль­ших В (а именно при mB/A >>1) в формулах (10.37) можно пре­небречь единицей. Четверка энергий принимает вид

Это уравнения четырех прямых на фиг. 10.3. Эти формулы можно физически понять следующим образом. Природа стацио­нарных состояний в нулевом поле полностью определяется вза­имодействием двух магнитных моментов. Перемешивание ба­зисных состояний | + -> и | - +> в стационарных состояниях |III>и | IV >вызвано этим взаимодействием. Однако вряд ли можно ожидать, что каждая из наших частиц (и протон, и элек­трон) в сильных внешних полях будет испытывать влияние поля другой частицы; каждая будет действовать так, как если бы во внешнем поле находилась она одна. Тогда (как мы уже много раз видели) спин электрона окажется направленным вдоль внешнего магнитного поля (по нему или против него).

Пусть спин электрона направлен вверх, т. е. вдоль поля; энергия его будет -m e B . Протон при - этом может стоять по-разному. Если у него спин тоже направлен вверх, то его энергия -m p B. Их сумма равна -(m е+m р) B=mB. А это как раз и есть E I , и это очень приятно, потому что мы описываем состояние |+ +>=| I >. Есть еще небольшой дополнительный член А (теперь (m B >> A ), представляющий энергию взаимодействия протона и электрона, когда их спины параллельны. (Мы с са­мого начала считали А положительным, потому что так должно было быть по теории, о которой шла речь; то же получается и на опыте.) Но спин протона может быть направлен и вниз. Тогда его энергия во внешнем ноле обратится в +m Р B , а вместе с элек­троном их анергия будет -(m e-m р) В= m В. А энергия взаимо­действия обращается в - А. Их сумма даст энергию Е III , в (10.38). Так что состояние | III >в сильных полях становится состоянием |+ ->.

Пусть теперь спин электрона направлен вниз. Его энергия во внешнем ноле равна m e В. Если и протон смотрит вниз, то их общая энергия равна {m e+m p) В = - m В плюс энергия взаимо­действия А (спины-то теперь параллельны). Это приводит как раз к энергии Е II в (10.38) и соответствует состоянию |- ->=| II > , что очень мило. И наконец, если у электрона спин направлен вниз, а у протона — вверх, то мы получим энер­гию (m e-m p )В-А (минус А потому, что спины противопо­ложны), т. е. E IV . А состояние отвечает |- +>.

«Погодите минутку,— вероятно, скажете вы.— «Состояния | Ill >и | IV > — это не состояния | + — > и | — + >; они яв­ляются их смесями». Верно, но перемешивание здесь едва замет­но. Действительно, при 5=0 они являются смесями, но мы пока не выясняли, что бывает при больших В. Когда мы для полу­чения энергии стационарных состояний пользовались анало­гией между (10.33) и формулами гл. 7, то заодно можно было оттуда взять и амплитуды. Они получатся из (7.23):

Отношение a 2 /a 3 — это, конечно, на сей раз C 2 /C 3Вставляя аналогичные величины из (10.33), получаем

или

где вместо Е надо взять подходящую энергию (либо Е III , либо E IV ). Например, для состояния | III >имеем

Значит, при больших В у состояния | ///> С 2 >>С 3;состояние почти полностью становится состоянием | 2>= |+ ->. Точно так же если в (10.39) подставить e iv , то получится, что (С 2/С 3) IV<<1; в сильных полях состояние | IV >обращается попросту в состояние |3> = |- +>. Вы видите, что коэффи­циенты в линейных комбинациях наших базисных состояний, составляющих стационарные состояния, сами зависят от В.

Состояние, которое мы име­нуем | III > , в очень слабых полях представляет собой смесь |+ -> и |- +> в про­порции 1:1, но в сильных полях целиком смещается к |+ ->. Точно так же и со­стояние | IV >, которое в сла­бых полях также является смесью |+ -> и |- +> в пропорции 1:1 (с обратным зна­ком), переходит в состояние | - + ), когда спины из-за силь­ного внешнего поля больше друг с другом не связаны.

Хотелось бы обратить ваше внимание, в частности, на то, что происходит в очень слабых магнитных полях. Имеется одна энергия ( -3А ) , которая не изменяется при включении слабого магнитного поля. И имеется другая энергия ( +А ) , которая при включении слабого магнитного поля расщепляется на три различных уровня энергии. В слабых полях энергии с ростом В меняются так, как показано на фиг. 10.5. Допустим, что у нас есть каким-то образом отобранное множество атомов водорода, у которых у всех энергия равна - 3А. Если пропу­стить их через прибор Штерна — Герлаха (с не очень сильными полями), то мы найдем, что они просто проходят целиком на­сквозь. (Поскольку их энергия не зависит от В, то, согласно принципу виртуальной работы, градиент магнитного поля не создает никакой силы, которая бы ощущалась ими.) Пусть, с другой стороны, мы бы отобрали группку атомов с энергией + А и пропустили их через прибор Штерна — Герлаха, скажем через прибор S. (Опять поля в приборе не должны быть столь сильными, чтобы разрушить внутренность атома; подразуме­вается, что поля малы настолько, что энергии можно считать линейно зависящими от В.) Мы бы получили три пучка. На состояния | I > и | II > действуют противоположные силы, их энергии меняются по В линейно с наклоном ±m, так что силы сходны с силами, действующими на диполь, у которого m z = ±m , а состояние | III > проходит насквозь. Мы опять возвращаемся к гл. 3. Атом водорода с энергией +А — это частица со спином 1. Это энергетическое состояние является «частицей», для которой j =1, и может быть описано (по отношению к некоторой системе осей в пространстве) в терминах базисных состояний |+ S >, | 0 S > и |- S > , которыми мы пользовались в гл. 3. С другой стороны, когда атом водорода имеет энергию -3 А, он является частицей со спином нуль. (Напоминаем, что все сказанное, строго говоря, справедливо лишь для бесконечно малых магнит­ных полей.) Итак, состояния водорода в нулевом магнитном поле можно сгруппировать следующим образом: