Ричард Фейнман - 7. Физика сплошных сред

§ 2. Волны в плотных материалах

Прежде всего я напомню вам об удобном способе описания синусоидальных плоских волн, которым мы пользовались в гл. 36 (вып. 3). Любая компонента поля в волне (возьмем, на­пример, Е) может быть записана в форме

E=E 0e i ( w t - k · r ), (33.6)

где Е — амплитуда поля в точке г (относительно начала коор­динат) в момент t. Вектор kуказывает направление распростра­нения волны, а его величина | k|=k=2pl равна волновому числу. Фазовая скорость волны v фаз=w/k для света в материале с показателем n будет равна c/n, поэтому

k=wn/c. (33.7)

Предположим, что вектор kнаправлен по оси z; тогда k·rбудет просто хорошо знакомым нам kz. Для вектора kв любом другом направлении z следует заменить на r k — расстояние от начала в направлении вектора k, т. е. kz мы должны заменить на kr k , что как раз равно k·r(фиг. 33.2).

Фиг. 33.2. Фаза волны в точке Р, распространяющейся в направ­лении k, равна (wt- k · r ).

Таким образом, запись (33.6) является удобным представлением волны, идущей в любом направлении.

Разумеется, при этом мы должны помнить, что

k · r =k x x+k y y+k : z z,

где k x , k y и k z — компоненты вектора kпо трем осям. Мы уже отмечали однажды, что на самом деле величины (w, k x , k y , k z ) образуют четырехвектор и что его скалярное произведение на (t, x, у, z) является инвариантом. Таким образом, фаза волны есть инвариант и формулу (33.6) можно записать в виде

Однако сейчас нам такие хитрости не понадобятся.

Для синусоидального по­ля Е, подобного выражению (33.6), производная dE/дt — это то же самое, что и iwE, a дЕ/дх — то же, что и ik x E , и аналогично для остальных компо­нент. Вы видите, чем удобна форма (33.6): когда мы работаем с дифференциальными уравнениями, то дифференцирование заменяется простым умножением. Другое полезное качество состоит в том, что операция С =(д/дx), (д/ду), (д/дz) заменяется тремя умножениями (- ik x ,-ik y , -ik z ). Но эти три множителя преобразуются как компоненты вектора k, так что оператор С заменяется умножением на

Правило остается справедливым для операции С в любой ком­бинации, будь то градиент, дивергенция или ротор. Например, z-компонента СX Еравна

Если и Е у и Е х изменяются как e - i k · r , то мы получаем

-ik x E y +ik y E x ,

что представляет, как вы видите, z-компоненту —i kX Е.

Таким образом, мы получили очень полезный общий закон, что в любом случае, когда вам нужно взять градиент от вектора, который изменяется, как волна в трехмерном пространстве (а они в физике играют важную роль), эту операцию вы можете проделать быстро и почти без всяких раздумий, если вспомните, что оператор С эквивалентен умножению на —i k.

Например, уравнение Фарадея

СX Е= д B/ д t

превращается для волны в

— i kX Е=-iw B. Оно говорит, что

В= kX E/w. (33.9)

Это соответствует результату, найденному ранее для волн в пу­стом пространстве, т. е. что вектор Вв волне направлен под прямым углом к вектору Еи направлению распространения волны. (В пустом пространстве w/k=с.) Знак в уравнении (33.9) вы можете проверить, исходя из того, что kявляется на­правлением вектора Пойнтинга S=e 0c 2( EX В).

Если вы примените то же самое правило к другим уравне­ниям Максвелла, то снова получите результаты последней главы, в частности

Но раз уже это известно нам, давайте не будем проделывать все сначала.

Если вы хотите поразвлечься, можете попытаться решить та­кую устрашающую задачу (в 1890 г. она предлагалась студен­там на выпускных экзаменах): решите уравнения Максвелла для плоской волны в анизотропном кристалле, т. е. когда поля­ризация Рсвязана с электрическим полем Ечерез тензор поля­ризуемости. Конечно, в качестве ваших осей вы выберете глав­ные оси тензора, так что связи при этом упростятся (тогда Р х =a a Е х , Р у =a b Е у , a P z =a c E z ), но направление волны и ее поляризация пусть останутся произвольными. Вы должны найти соотношение между Еи Ви определить, как изменяется kс направлением распространения волны и ее поляризацией. После этого вам будет понятна оптика анизотропного кристалла. Лучше начать с более легкого случая дважды лучепреломляющего кристалла, подобного турмалину, для которого два коэффи­циента поляризуемости равны между собой (например, a b =a c ), и попытаться понять, почему, когда мы смотрим через такой кристалл, мы видим два изображения. Если это вам удастся, тогда испытайте свои силы на более трудном случае, когда все три а различны. После этого вам уже будет ясен уровень ваших знаний — знаете ли вы столько же, сколько студент, заканчи­вавший университет в 1890 г. Но мы с вами в этой главе будем рассматривать только изотропные вещества.

Из опыта вам известно, что когда на границу раздела двух материалов, скажем воздуха и стекла или воды и бензина, попадает плоская волна, то возникают как отраженная, так и преломленная волны.

Предположим, что, кроме этого факта, нам больше ничего неизвестно, и посмотрим, что можно из него вывести. Выберем наши оси так, чтобы плоскость yz совпадала с поверхностью раздела, а плоскость ху была перпендикулярна фронту волны (фиг. 33.3).