Ричард Фейнман - 7. Физика сплошных сред

(33.46), и тогда закон Снелла (33.47) был бы верен и в общем случае. Однако при этом углы тоже стали бы комплексными числами и, следовательно, потеряли бы свою геометрическую интерпретацию как углы. Уж лучше описывать поведение волн соответствующими комплексными величинами k xили k" x .. ]

До сих пор мы не обнаружили ничего нового. Мы доставили себе только простенькое развлечение, выводя очевидные вещи из сложного математического механизма. А сейчас мы готовы найти амплитуды волн, которые нам еще не известны. Используя результаты для всех w и k, мы можем сократить экспоненциаль­ный множитель в (33.38) и получить

е 0 +е' 0 =е" 0 . (33.48)

Но поскольку мы не знаем ни Е' 0 , ни Е" 9 , то необходимо еще одно соотношение. Нужно использовать еще одно граничное условие. Уравнения для Е х и Е y не помогут, ибо все Еимеют только одну z-компоненту. Так что мы должны воспользоваться условием на В. Попробуем взять (33.29):

B x2=B x1. Согласно условиям (33.35)—(33.37),

Вспоминая, что w" =w'= w и k" y =k' y =k y , получаем

е 0 +е' 0 =е" 0 .

Но это снова уравнение (33.48)! Мы напрасно потратили время и получили то, что уже давно нам известно.

Можно было бы обратиться к (33.30) B z 2 =В z 1 , но у вектора В отсутствует z-компонента! Осталось только одно условие — (33.31) В у 2 =В у1 . Для наших трех волн

Подставляя вместо E i ,E r и E t волновые выражения при x=0 (ибо дело происходит на границе), мы получаем следующее граничное условие:

Учитывая равенство всех w и k y , снова приходим к условию k x E 0 + k' x E' 0 =k" x E" 0 . (33.50)

Это дает нам уравнение для величины Е, отличное от (33.48). Получившиеся два уравнения можно решить относительно E' 0и Е" 0 . Вспоминая, что k’ x=- k x , получаем

Вместе с (33.45) или (33.46) для k” x эти формулы дают нам все, что мы хотели узнать. Следствия полученного результата мы обсудим в следующем параграфе.

Если взять поляризованную волну с вектором Е, параллель­ным плоскости падения, то Е, как это видно из фиг. 33.7, будет иметь как x-, так и y-компоненту. Вся алгебра при этом будет менее хитрая, но более сложная. (Можно, правда, несколько уменьшить работу в этом случае, выражая все через магнитное поле, которое целиком направлено по оси z.)

Фиг. 33.7. Поляризации волн, когда поле Е в падающей волне па­раллельно плоскости падения.

При этом мы найдем

и

Давайте посмотрим, будет ли наш результат согласовываться с тем, что мы получали раньше. Выражение (33.3) мы вывели в вып. 3, когда находили отношение интенсивностей отражен­ной и падающей волн. Однако тогда мы рассматривали только вещественный показатель преломления. Для вещественного показателя (или вещественных k) можно записать:

k x =k cosq i=(wn 1/c)cosq i,

k" x=k"cosq t=(wn 2/c)cosq t.

Подставляя это в уравнение (33.51), получаем

что нисколько не похоже на уравнение (33.3). Если, однако, мы воспользуемся законом Снелла и избавимся от всех n, то сход­ство будет восстановлено. Подставляя n 2=n 1(sinq i/sinq t) и умножая числитель и знаменатель на sinq t, получаем

Обратите внимание, что в числителе и знаменателе стоят просто синусы (q i-q t) и (q i+q t), поэтому

Поскольку амплитуды E' 0и E 0измеряются в том же самом мате­риале, интенсивности пропорциональны квадратам электри­ческих полей и мы получаем тот же результат, что и раньше. Подобным же образом формула (33.53) тоже аналогична форму­ле (33.4).

Для волн, падающих перпендикулярно, q i=0 и q t=0. Формула (33.56) выглядит как 0/0, от чего нам пользы мало. Однако мы можем вернуться назад к формуле (33.55), согласно которой

Этот результат, естественно, применим для «любой» поляриза­ции, поскольку для перпендикулярного луча нет никакой особой «плоскости падения».

§ 5. Отражение от металлов

Теперь мы можем использовать наши результаты для пони­мания интересного явления — отражения от металлов. Почему металлы блестят? В предыдущей главе мы видели, что показа­тель преломления металлов для некоторых частот имеет очень большую мнимую часть. Давайте посмотрим, какова будет интен­сивность отраженной волны, когда свет падает из воздуха (с по­казателем n=1) на материал с n=- in I . При этом условии уравнение (33.55) дает (для нормального падения)

Для интенсивности отраженной волны нам нужны квадраты абсолютных величин Е' 0 и Е 0 :

или