Ричард Фейнман - 7. Физика сплошных сред

Вернемся к фиг. 30.7, а. Мы видим, что узор там обладает четырехкратной вращательной симметрией. На фиг. 30.7, б мы нарисовали другое расположение, которое обладает теми же свойствами симметрии, что и фиг. 30.7, а. Маленькие фигурки, похожие на запятые,— это асимметричные объекты, которые служат для определения симметрии изображения внутри каж­дого квадратика. Заметьте, что запятые в соседних квадратиках перевернуты попеременно, так что элементарная ячейка боль­ше одного квадратика. Если бы запятых не было, рисунок по-прежнему обладал бы четырехкратной симметрией, но эле­ментарная ячейка была бы меньше. Посмотрим внимательно на фиг. 30.7; мы обнаружим, что они обладают еще и другими типами симметрии. Так, отражение относительно каждой пунк­тирной линии R—R воспроизводит рисунок без изменений. Но это еще не все. У них есть еще один тип симметрии. Если отразить рисунок относительно линии y —y , а затем сдвинуть на один квадратик вправо (или влево), то снова получится пер­воначальный рисунок. Линия у—у называется линией сколь­жения.

Этим исчерпываются все типы симметрии в пространстве двух измерений. Есть еще одна пространственная операция сим­метрии, которая на плоскости эквивалентна вращению на 180°, однако в трехмерном пространстве она не сводится к этому вра­щению, а есть совсем другая операция. Я говорю об инверсии. Под инверсией мы подразумеваем такую операцию, когда лю­бая точка, отвечающая вектору смещения из начала координат R(например, точка А на фиг. 30.9, б), переносится в точку — R.

Фиг. 30.9. Операция симметрии, называемая инверсией.

а — рисунок меняется; б — рисунок не меняется при преобразовании R ® - R ;

в — в трех измерениях рисунок не симметричен после операции инверсии;

г — рисунок симметричен в трех измерениях.

Инверсия рисунка а на фиг. 30.9 дает новый рисунок, а инверсия рисунка б приводит к такому же рисунку. На дву­мерном узоре (вы можете это видеть) инверсия рисунка б в точ­ке А эквивалентна повороту на 180° вокруг той же самой точки. Предположим, однако, что мы сделали узор на фиг. 30.9, б трехмерным, вообразив на маленьких шестерках и девятках «стрелочки», смотрящие из страницы кверху. В результате ин­версии в трехмерном пространстве все стрелочки перевернутся и направятся вниз, так что узор не воспроизведется. Если мы обозначим острия и хвосты стрелок точками и крестиками, то сможем образовать трехмерный рисунок (фиг. 30.9, в), который несимметричен относительно инверсии, или же мы можем получить рисунок, который такой симметрией обладает (фиг. 30.9, г). Заметьте, что трехмерную инверсию нельзя получить никакой комбинацией вращений.

Если мы будем характеризовать «симметрию» рисунка (или решетки) разного рода операциями симметрии, которые мы только что описали, то окажется, что в двумерном случае сущест­вуют 17 различных форм узоров. Узор с наинизшей возможной симметрией мы изобразили на фиг. 30.1, а узор с одной из наи­высших симметрии — на фиг. 30.7. Отыщите сами все 17 возможных форм рисунков.

Удивительно, как мало типов из этих 17 используется при изготовлении обоев и тканей! Всегда видишь одни и те же три или четыре основных типа. В чем здесь дело? Неужели так убо­га фантазия художников или, может быть, многие из возмож­ных типов рисунков не будут радовать глаз?

§ 6. Симметрии в трех измерениях

До сих пор мы говорили только об узорах в двух измерениях. На самом же деле нас интересуют способы размещения атомов в трех измерениях. Прежде всего очевидно, что трехмерный кристалл имеет три основных вектора. Если же мы поинтересу­емся возможными операциями симметрии в трех измерениях, то обнаружим, что существует 230 возможных типов симметрии! По некоторым соображениям, эти 230 типов можно разделить на семь классов, представленных на фиг. 30.10.

Фиг. 30.10. Семь классов кристаллической решетки.

Решетка с наи­меньшей симметрией называется триклинной. Ее элементар­ная ячейка представляет собой параллелепипед. Основные век­торы все имеют разную длину и нет ни одной одинаковой пары углов между ними. И никакой вращательной или зеркальной симметрии здесь нет. Однако есть еще одна операция: при ин­версии в узле элементарная ячейка может меняться, а может и не меняться. [Под инверсией в трех измерениях мы снова подра­зумеваем, что пространственное смещение Rзаменяется на - R, или, другими словами, точка с координатами (х, у, z) переходит в точку с координатами (-x ,-y , - z). Поэтому симметрия триклинной решетки может быть только двух типов — с центром инверсии и без него.] Пока мы считали, что все векторы разные и расположены под произвольными углами. Если же все век­торы одинаковы и углы между ними равны, то получается тригональная решетка, изображенная на рисунке. Ячейка такой решетки может иметь добавочную симметрию; она может еще и не меняться при вращении вокруг наибольшей телесной диагонали.

Если один из основных векторов, скажем с, направлен под прямым уг­лом к двум остальным, то мы получаем моноклинную элементарную ячейку. Здесь возможна новая симметрия — вращение на 180° вокруг с. Гексагональ­ная решетка — это частный случай, когда векторы аи bравны и угол меж­ду ними составляет 60°, так что вра­щение на 60, 120 или 180° вокруг вектора с приводит к той же самой решетке (для определенных внутренних типов симметрии).

Если все три основных вектора пер­пендикулярны друг другу, но не равны по длине, получается ромбическая ячей­ка. Фигура симметрична относительно вращений на 180° вокруг трех осей. Типы симметрии более высокого поряд­ка возникают у тетрагональной ячей­ки, все углы которой прямые и два основных вектора равны. Наконец, имеется еще кубическая ячейка, самая симметричная из всех.

Основной смысл всего этого разго­вора о типах симметрии состоит в том, что внутренняя симметрия кристалла проявляется (иногда весьма тонким образом) в макроскопических физичес­ких свойствах кристалла. В гл. 31 мы увидим, например, что электрическая поляризуемость кристалла, вообще го­воря, представляет собой тензор. Если описывать тензор в терминах эллипсои­да поляризуемости, то мы должны дока­зать, что некоторые типы симметрии кристалла проявятся в этом эллипсоиде. Так, кубический кристалл симметричен по отношению к вращению на 90° вокруг любого из трех взаим­но перпендикулярных направлений. Единственный эллипсоид с таким свойством,—очевидно, сфера. Кубический кристалл должен быть изотропным диэлектриком.