Ричард Фейнман - 7. Физика сплошных сред

Фиг. 31.1. Сложение векторов поляризации в анизотропном кристалле.

Поляризация уже не параллельна направ­лению электрического поля. Нетрудно понять, отчего так про­исходит. В кристалле есть заряды, которые легко сдвинуть вверх и вниз, но которые очень туго сдвигаются в стороны. Если же сила приложена под углом 45°, то эти заря­ды более охотно движутся вверх, чем в сторону. В результате такой асимметрии внутренних упругих сил перемещение идет не по направлению внешней силы. Разумеется, угол 45° ничем не выде­лен. То, что индуцированная поляри­зация не направлена по электрическо­му полю, справедливо и в общем случае. Перед этим нам просто «посчастливи­лось» выбрать такие оси х и у, для которых поляризация Рбыла направлена по полю Е. Если бы кристалл был повернут по отношению к осям координат, то электрическое поле Е 2, направленное по оси y, вызвало бы поляризацию как по оси у, так и по оси х. Подобным же образом поляризация Р, вызван­ная полем, направленным вдоль оси х, тоже имела бы как х-, так и y-компоненты. Так что вместо фиг. 31.1, а мы получили бы нечто похожее на фиг. 31.1,6. Но несмотря на все это ус­ложнение, величина поляризации Рдля любого поля Епо-преж­нему пропорциональна его величине.

Рассмотрим теперь общий случай произвольной ориентации кристалла по отношению к осям координат. Электрическое поле, направленное по оси х, дает поляризацию Рс компонентами по всем трем осям, поэтому мы можем написать

Р x =a xx E x , Р у =a ух Е х , Р z =a zx Е x . (31.1)

Этим я хочу сказать лишь, что электрическое поле, направ­ленное по оси х, создает поляризацию не только в этом нап­равлении, оно приводит к трем компонентам поляризации Р х , Р y и P z , каждая из которых пропорциональна Е х . Коэффициен­ты пропорциональности мы назвали a хх , a ух и a zx(первый зна­чок говорит, о какой компоненте идет речь, а второй относится к направлению электрического поля).

Аналогично, для поля, направленного по оси у, мы можем написать

Р х =a ху Е y , Р у =a уу Е у , Р z =a гу Е у , (31.2)

а для поля в z-направлении

P x= a xzE z, P y =a yz E z P z =a zz E z . (31,3)

Дальше мы говорим, что поляризация линейно зависит от поля; поэтому если у нас есть электрическое поле Ес компонентами х и у, то x-компонента поляризации Рбудет суммой двух Р х , определенных уравнениями (31.1) и (31.2), ну а если Еимеет составляющие по всем трем направлениям х, у и z, то состав­ляющие поляризации Рдолжны быть суммой соответствующих слагаемых в уравнениях (31.1), (31.2) и (31.3). Другими словами, Р записывается в виде

Диэлектрические свойства кристалла, таким образом, пол­ностью описываются девятью величинами (a xx ,, a xy ,,a xz ,a yz , ... ), которые можно записать в виде символа a ij. (Индексы i и j заменяют одну из трех букв: х, у или z.) Произвольное электри­ческое поле Еможно разложить на составляющие Е x , Е y и Е z . Зная их, можно воспользоваться коэффициентами a ij и найти Р х , Р y и P z , которые в совокупности дают полную поляризацию Р. Набор девяти коэффициентов a ij называется тензором — в данном примере тензором поляризуемости. Точно так же как три величины (Е х , Е у , Е z ) «образуют вектор Е», и мы говорим, что девять величин ( a хх , a ху , ... )«образуют тензор a ij».

§ 2. Преобразование компонент тензора

Вы знаете, что при замене старых осей координат новыми х', у' и z' компоненты вектора Е х ' , Е у ' , Е г ' тоже оказываются другими. То же самое происходит и с компонентами Р, так что для разных систем координат коэффициенты a ij оказываются различными. Однако вполне можно выяснить, как должны изме­няться а при надлежащем изменении компонент Еи Р, ибо, если мы описываем то же самое электрическое поле, но в но­вой системе координат, мы должны получить ту же самую по­ляризацию Р. Для любой новой системы координат P x 'будет линейной комбинацией Р х , Р y ' , и Р z ':

Р x ’ =аР х +bР у +сР z ,

и аналогично для других компонент. Если вместо Р х , Р y и Р z подставить их выражения через Е согласно (31.4), то получится

Теперь напишите, как выражается Е х , Е y и E z через Е x ' , Е y ' и Е z ' , например,

E x = a'E x ' +b'E y ' +c'E z ' ,

где числа а' , b' и с' связаны с числами а, b и c, но не равны им. Таким образом, у вас получилось выражение Р х ' через компо­ненты Е х ', Е y ' и E z ' , т. е. получились новые a ij. Никаких хит­ростей здесь нет, хотя все это достаточно запутано.

Когда мы говорили о преобразовании осей, то считали, что положение самого кристалла фиксировано в пространстве. Если же вместе с осями поворачивать и кристалл, то a не изме­няются. И обратно, если по отношению к осям изменять ориен­тацию кристалла, то получится новый набор коэффициентов а. Но если они известны для какой-то одной ориентации кристал­ла, то с помощью только что описанного преобразования их можно найти и для любой другой ориентации. Иначе говоря, диэлектрические свойства кристалла полностью описываются заданием компонент тензора поляризуемости a ij. в любой про­извольно выбранной системе координат. Точно так же как век­тор скорости v = (v x, v y , v z ) можно связать с частицей, зная, что три его компоненты при замене осей координат будут изменять­ся некоторым определенным образом, тензор поляризуемости a ij, девять компонент которого при изменении системы осей координат преобразуются вполне определенным образом, мож­но связать с кристаллом.