Ричард Фейнман - 6a. Электродинамика

(26.34)

напоминающей уравнения F=ma. Важно отметить, что урав­нения (26.34) и F=ma — вещи разные, ибо четырехвекторная форма уравнения (26.34) содержит в себе релятивистскую ме­ханику, которая при больших скоростях отличается от механики Ньютона. Это абсолютно непохоже на случай уравнений Максвелла, где нам нужно был о переписать уравнения в реляти­вистской форме, совершенно не изменяя их смысла, а изменяя лишь обозначения.

Вернемся теперь к уравнению (26.24) и посмотрим, как в четырехвекторных обозначениях записывается правая часть.

Три компоненты F, поделенные на Ц(1-v 2/c 2), составляют про­странственные компоненты f m, так что

Теперь мы должны подставить все величины в их релятивистских обозначениях. Прежде всего c/Ц(1- v 2 /c 2 ), v y / Ц( 1 - v 2 /c 2 ) и v z / Ц( 1-v 2 /c 2 ) представляют t-, у- и z-компоненты 4-скорости u m . Компоненты же Е и В входят в электромагнитный тензор вто­рого ранга F m v . Отыскав в табл. 26.1 компоненты F m v , соответ­ствующие Е х , В г и В v , получим

здесь уже начинает вырисовываться что-то интересное. В каж­дом слагаемом есть индекс х, и это разумно, ибо мы находим х-компоненту силы. Все же остальные индексы появляются в парах tt, yy, zz — все, кроме слагаемого с хх, которое куда-то делось. Давайте просто вставим его и запишем

Этим мы ничего не изменили, так как благодаря антисимметрии F m v слагаемое F xx равно нулю. Причиной же нашего желания восстановить его является возможность сокращенной записи уравнения (26.36):

(26.37)

Это по-прежнему уравнение (26.36), если предварительно мы примем соглашение: когда какой-то индекс встречается в произ­ведении дважды (подобно v), нужно автоматически суммировать все слагаемые с одинаковыми значениями этого индекса точно так же, как и в скалярном произведении, т. е. пользуясь тем же самым правилом знаков.

Нетрудно поверить, что уравнение (26.37) так же хорошо работает и для m=y, и для m =z. Но как обстоит дело с m=t? Посмотрим для забавы, что дает формула

Теперь мы снова должны перейти к Еи В. После этого получается

или

Но в (26.28) f t бралось равным

А это одно и то же, что (26.38), ибо v·(vXB) равно нулю. Так что все идет как нельзя лучше.

В результате наше уравнение движения записывается в элегантном виде:

(26.39)

Как ни приятно видеть столь красиво записанное уравнение, форма эта не особенно полезна. При нахождении движения частицы обычно удобнее пользоваться первоначальным урав­нением (26.24), что мы и будем делать в дальнейшем.

*Штрих используется здесь для обозначения запаздывающего поло­жения и времени; не путайте его со штрихом в предыдущей главе, обозначавшим систему отсчета, подвергнутую преобразованиям Лоренца.

*В этом параграфе мы не будем принимать с за единицу.

§ 1. Локальные законы сохранения

§ 2. Сохранение энергии и электромагнитное поле

§ 3. Плотность энергии и поток энергии в электромагнитном поле

§ 4. Неопределенность энергии поля

§ 5. Примеры потоков энергии

§ 6. Импульс поля

§ 1. Локальные законы сохранения

То, что энергия вещества не всегда сохра­няется, ясно как день. При излучении света объект теряет энергию. Однако потерянную энергию можно представить в какой-то другой форме, скажем, в форме энергии света. Поэтому закон сохранения энергии не полон, если не рассмотреть энергию, связанную со светом, в частности, и с электромагнитным полем вооб­ще. Сейчас мы подправим его, а заодно и закон сохранения импульса с учетом электромагнит­ного поля. Мы, разумеется, не можем обсуждать их порознь, ибо, согласно теории относитель­ности, это различные проявления одного и того же четырехвектора.

С сохранением энергии мы познакомились еще в начале нашего курса; тогда мы просто сказали, что полная энергия в мире остается постоянной. Теперь же мы хотим сделать очень важное обобщение идеи закона сохранения энергии, которое скажет нам нечто о деталях того, как это происходит. Новый закон будет говорить, что если энергия уходит из какой-то области, то это может происходить только за счет ее вытекания через границы рассматрива­емой области. Это утверждение сильнее, чем просто сохранение энергии без подобных огра­ничений.

Чтобы легче понять смысл этого утверждения, посмотрим, как работает закон сохранения заряда. У нас есть плотность тока j и плотность заряда r, а сохранение заряда описывается тем, что если в каком-то месте заряд уменьшается, то оттуда должен происходить отток зарядов. Мы называем это сохранением заряда. Математически закон сохранения записывается в виде

(27.1)

Как следствие этого закона полный заряд всего мира остается постоянным. Заряды никогда не рождались и не уничтожались; в мире как целом нет никакой чистой прибыли зарядов, как нет и никаких потерь. Однако полный заряд мира можно сде­лать постоянным и другим способом. Пусть вблизи точки (1) находится заряд Q 1, а вблизи точки (2), расположенной от нее на некотором расстоянии, никакого заряда нет (фиг. 27.1). Предположим теперь, что с течением времени заряд Q 1 посте­пенно исчезает, но что одновременно с уменьшением Q 1вблизи точки (2) появляется заряд Q 2 , причем так, что в любой момент сумма Q t и Q 2 остается постоянной. Другими словами, в любой промежуточный момент количество заряда, теряемое Q 1, при­бавляется к Q 2 . При этом в мире полное количество заряда сох­раняется. Хотя это тоже «всемирное» сохранение заряда, мы не будем его называть «локальным» сохранением, ибо для того, чтобы заряд перебрался из точки (1) в точку (2), ему не обяза­тельно появляться где-то в пространстве между этими точками. Локально заряд просто «теряется».