Ричард Фейнман - 6a. Электродинамика

Таким образом, наша «сумасшедшая» теория говорит, что электроны получают свою энергию, растрачиваемую ими на создание теплоты извне, от потока энергии внешнего поля внутрь провода. Интуиция нам подсказывает, что электрон пополняет свою энергию за счет «давления», которое толкает его вдоль провода, так что энергия как будто должна течь вниз (или вверх) по проводу. А вот теория утверждает, что на самом деле на электрон действует электрическое поле, создаваемое очень да­лекими зарядами, и электроны теряют свою энергию, расходуе­мую на тепло именно из этих полей. Энергия отдаленных заря­дов каким-то образом растекается по большой области простран­ства и затем втекает внутрь провода.

Наконец, чтобы окончательно убедить вас в том, что это явно ненормальная теория, возьмем еще один пример, когда электрический заряд и магнит покоятся — сидят себе рядышком и не шевелятся. Представьте, что мы взяли точечный заряд, по­коящийся вблизи центра магнитного бруска (фиг. 27.6). Все находится в покое, так что энергия тоже не изменяется со вре­менем; Е и В постоянны. Но вектор Пойнтинга утверждает, что здесь есть поток энергии, так как ЕXВ не равно нулю. Если вы понаблюдаете за потоком энергии, то убедитесь, что он циркули­рует вокруг этой системы. Но никакого изменения энергии не происходит; все, что втекает в любой объем, снова вытекает из него.

Фиг. 27.6. Заряд и магнит дают вектор Пойнтинга. циркулирую­щий по замкнутой петле.

Это напоминает круговой поток несжимаемой воды. Итак, в такой, казалось бы, статической ситуации есть поток энергии. Выглядит, прямо скажем, абсурдно!

А, может быть, это все-таки не так уж удивительно, если вспомнить, что так называемый «статический» магнит представ­ляет на самом деле непрерывно циркулирующий ток. Внутри постоянного магнита электроны все время крутятся. Так что, может быть, циркуляция энергии не так уж удивительна.

У вас, без сомнения, начинает создаваться впечатление, что теория Пойнтинга, по крайней мере частично, опровергает вашу интуицию относительно того, где находится энергия электро­магнитного поля. Вам может показаться, что необходимо за­няться «починкой» своей интуиции, отработкой ее на множестве примеров. Однако в этом, по-видимому, никакой необходимости нет. Не думаю, чтобы вы оказались в большом затруднении, забыв на время, что энергия втекает внутрь провода извне, а не течет вдоль него. Не так уж важно, используя идею сохра­нения энергии, указать во всех деталях, какой путь избирает энергия. Циркуляция энергии вокруг магнита и заряда в боль­шинстве случаев, по-видимому, совершенно несущественна. Хотя это и не так уж важно, однако ясно, что повседневная интуиция нас обманывает.

§ 6. Импульс поля

Теперь мне бы хотелось поговорить об импульсе поля. Поле обладает энергией; точно так же в единице объема оно обладает каким-то импульсом. Обозначим плотность импульса через g. Импульс, разумеется, может иметь различные направления, по­этому g должно быть вектором. Временно мы будем говорить об одной компоненте и для начала возьмем x-компоненту. По­скольку любая компонента импульса сохраняется, то мы можем сразу написать закон примерно такого вида:

Левая часть тривиальна. Скорость изменения импульса веще­ства равна просто действующей на него силе. Для частиц F=q(E+vXB), а для распределенных зарядов на единицу объема действует сила F=(rE+jXB). Однако слагаемое «поток импульса» несколько странно. Оно не может быть дивергенцией какого-то вектора, ибо это не скаляр, а скорее x-компонента некоторого вектора. Но как бы то ни было оно должно иметь вид

поскольку x-компонента импульса должна течь в каком-либо из трех направлений. Во всяком случае, каковы бы ни были а, b и с, такая комбинация предполагается равной потоку x-ком­поненты импульса.

Дальше по правилам той же самой игры напишем rЕ+jXB только через Е и В, исключив плотность заряда r и плотность тока j и затем жонглируя слагаемыми и произведя подстановку, получаем

Сопоставляя затем разные слагаемые, мы должны найти выра­жения для g x , a, b и с. В общем, здесь масса работы, но мы не собираемся заниматься ею. Вместо этого мы найдем только выражение для плотности импульса g и притом совсем другим способом.

В механике есть очень важная теорема, которая говорит: каков бы ни был поток энергии любого вида (энергия поля или какой-то другой сорт энергии), произведение ее количества, прошедшего через единицу площади в единицу времени, на 1/с 2равно импульсу в единице объема пространства. В случае электродинамики эта теорема говорит, что g равно вектору Пойнтинга, поделенному на с 2:

(27.21)

Так что вектор Пойнтинга дает нам не только поток энергии, но после деления на с 2и плотность импульса. Этот же результат получился бы из анализа, который мы только что предполагали проделать, однако более заманчиво воспользоваться общей теоремой. Сейчас мы рассмотрим несколько интересных приме­ров и рассуждений, призванных убедить вас в справедливости этой общей теоремы.

Первый пример: возьмем множество заключенных в ящик частиц. Пусть, скажем, их будет N штук на кубический метр, и пусть они движутся вдоль ящика со скоростью v. Рассмотрим теперь воображаемую плоскость, перпендикулярную к v. Поток энергии через единицу площади этой плоскости в секунду равен Nv (т. е. числу частиц, пересекающих плоскость за се­кунду), умноженному на энергию каждой частицы. Энергия же каждой частицы будет m 0c 2/Ц(l-v 2/c 2). Так что поток энергии равен

Но импульс каждой частицы равен m 0 v Ц( 1-v 2 /c 2 ), откуда плотность импульса будет

Фиг. 27.7. Порция энергии U, двигаясь со скоростью с, несет импульс, равный U/c.