Ричард Фейнман - 6a. Электродинамика

В цепи переменного тока средняя скорость потерь энергии в сопротивлении — это среднее значение RI 2за цикл. Поскольку I=I'e i w t(что, собственно, означает, что I меняется как coswt), то среднее значение I 2за цикл равно |I'| 2/2, потому что ток в максимуме — это |I'[, а среднее значение cos 2cat равно 1/ 2.

Фиг. 22.17. Любой импеданс эквивалентен последовательному соединению чистого сопротивле­ния и чистого реактанса.

А что можно сказать о потерях энергии, когда генератор подключен к произвольному импедансу z? (Под «потерями» мы, конечно, понимаем превращение электрической энергии в теп­ловую.) Всякий импеданс z может быть разбит на действитель­ную и мнимую части, т. е.

z = R + iX, (22.24)

где R и X — числа действительные. С точки зрения эквивалент­ных схем можно сказать, что всякий импеданс эквивалентен сопротивлению, последовательно соединенному с чисто мни­мым импедансом, называемым реактансом

(фиг. 22.17).

Мы уже видели раньше, что любая цепь, содержащая только L и C, обладает импедансом, выражаемым чисто мнимым числом. А раз в любом из L и С в среднем никаких потерь не бывает, то и в чистом реактансе, в котором имеются только L и С, по­терь энергии не бывает. Можно показать, что это должно быть верно для всякого реактанса.

Если генератор с э. д. с. e подсоединен к импедансу z (см. фиг. 22.17), то его

э. д. с. должна быть связана с током I из генератора соотношением

e = I(R + iX). (22.25)

Чтобы найти, с какой средней скоростью подводится энергия, нужно усреднить произведение eI. Но теперь следует быть ос­торожным. Оперируя с такими произведениями, надо иметь дело только с действительными величинами e(t) и I(t). (Дейст­вительные части комплексных функций изображают настоящие физические величины только тогда, когда уравнения линейны; сейчас же речь идет о произведении, а это, несомненно, вещь нелинейная.)

Пусть мы начали отсчитывать t так, что амплитуда I' оказа­лась действительным числом, скажем I 0; тогда истинное изме­нение I во времени дается формулой

I=I 0coswt.

.

Входящая в уравнение (22.25) э.д.с.— это действительная часть

или

(22.26)

Два слагаемых в (22.26) представляют падение напряжений на R и X (см. фиг. 22.17). Мы видим, что падение напряжения на сопротивлении находится в фазе с током, тогда как падение напряжения на чисто реактивной части находится с током в противофазе.

Средняя скорость потерь энергии <���Р> ср, текущей от гене­ратора, есть интеграл от произведения eI за один цикл, делен­ный на период Т; иными словами,

Первый интеграл равен 1/ 2I 2 0R, а второй равен нулю. Стало быть, средняя потеря энергии в импедансе z—R+iX зависит лишь от действительной части z и равна I 2 0 R/2. Это согласуется с нашим прежним выводом о потерях энергии в сопротивле­нии. В реактивной части потерь энергии не бывает.

§ 6. Лестничная сеть

А теперь мы рассмотрим интереснейшую цепь, которую можно выражать через параллельные и последовательные сочетания. Начнем с цепи, изображенной на фиг. 22.18, а. Сразу видно, что импеданс между зажимами а и b просто равен z 1+z 2. Возьмем теперь цепь потруднее (фиг. 22.18, б). Ее можно проанализиро­вать с помощью правил Кирхгофа, но нетрудно обойтись и последовательными и параллельными комбинациями. Два импе­данса на правом конце можно заменить одним z 3=z 1+z 2(см. фиг. 22.18, в). Тогда два импеданса z 2и z 3можно заме­нить их эквивалентным параллельным импедансом z 4(фиг. 22.18, г). И наконец, z 1и z 4эквивалентны одному импедан­су z 5(фиг. 22.18, д).

А теперь можно поставить забавный вопрос: что произой­дет, если к цепи, показанной на фиг. 22.18, б, бесконечно под­ключать все новые и новые звенья (штриховая линия на фиг. 22.19, а)? Можно ли решить задачу о такой бесконечной це­пи? Представьте, это совсем не трудно. Прежде всего мы замечаем, что такая бесконечная цепь не меняется, если новое звено под­ключить к «переднему» концу. Ведь если к бесконечной цепи добавляется одно звено, она остается все той же бесконечной цепью.

Фиг. 22.18. Эффективный импеданс лестницы.

Пусть мы обозначили импеданс между зажимами а и b бесконечной цепи через z 0; тогда импеданс всего того, что справа от зажимов с и d, тоже равен z 0. Поэтому если смотреть с перед­него конца, то вся цепь представляется в виде, показанном на фиг. 22.19, б. Заменяя два параллельных импеданса z 2и z 0одним и складывая его с z 1?сразу же получаем импеданс всего сочетания

Но этот импеданс тоже равен z 0. Получается уравнение

Найдем из него z 0:

(22.27)

Фиг. 22.19. Эффективный импеданс бесконечной лестницы.

Таким образом, мы нашли решение для импеданса бесконечной лестницы повторяющихся параллельных и последовательных импедансов. Импеданс z 0 называется характеристическим импе­дансом такой бесконечной цепи.

Рассмотрим теперь частный пример, когда последовательный элемент — всегда индуктивность L, а шунтовой элемент — емкость С (фиг. 22.20, а). В этом случае импеданс бесконечной сети получается, если положить z 1=iwL и z 2 =1/i w С. Заметьте, что первое слагаемое z 1/2 в (22.27) равно просто половине импе­данса первого элемента. Естественнее было бы поэтому (или по крайней мере проще) рисовать нашу бесконечную сеть так, как показано на фиг. 22.20, б. Глядя на бесконечную сеть из зажима a', мы бы увидали характеристический импеданс

(22.28)