Ричард Фейнман - 5b. Электричество и магнетизм

Фиг. 13.2. Если распределение зарядов с плотностью r дви­жется со скоростью v, то коли­чество заряда, проходящее в единицу времени через площад­ку Dа, есть rv·nDа.

Объем параллелепипеда есть произведение проекции Dа, пер­пендикулярной к v, на vDt, а умножая его на плотность заря­дов r, получаем Dq. Таким образом,

Dq = r v·nDaDt.

Заряд, проходящий в единицу времени, тогда равен рv·nDа, откуда получаем

j = pv.(13.3)

Если распределение зарядов состоит из отдельных зарядов, скажем электронов с зарядом q , движущихся со средней ско­ростью v, то плотность тока равна

j = Nqv,(13.4)

где N — число зарядов в единице объема.

Полное количество заряда, проходящее в единицу времени через какую-то поверхность S, называется электрическим то­ком I. Он равен интегралу от нормальной составляющей потока по всем элементам поверхности (фиг. 13.3):

Фиг. 13.3. Ток I через поверх­ность S равен ∫j·nda

Фиг. 13.4. Интеграл от j·n no замкнутой по­верхности равен скоро­сти изменения полного заряда Q внутри.

Ток I из замкнутой поверхности S представляет собой ско­рость, с которой заряды покидают объем V, окруженный по­верхностью 5. Один из основных законов физики говорит, что электрический заряд неуничтожаем; он никогда не теряется и не создается. Электрические заряды могут перемещаться с места на место, но никогда не возникают из ничего. Мы го­ворим, что заряд сохраняется. Если из замкнутой поверхности возникает результирующий ток, то количество заряда внутри должно соответственно уменьшаться (фиг. 13.4). Поэтому мы можем записать закон сохранения заряда в таком виде:

(13.6)

Заряд внутри можно записать как объемный интеграл от плот­ности заряда

(13.7)

Применяя (13.6) к малому объему DV, можно учесть, что интеграл слева есть С·jDV. Заряд внутри равен rDV, поэтому сохранение заряда можно еще записать и так:

(13.8)

(опять теорема Гаусса из математики!).

§ 3. Магнитная сила, действующая на ток

Теперь мы достаточно подготовлены, чтобы определить силу, действующую на находящуюся в магнитном поле проволоку, по которой идет ток. Ток состоит из заряженных частиц, дви­жущихся по проволоке со скоростью v. Каждый заряд чувствует поперечную силу F = qvXB (фиг. 13.5, а).

Фиг. 13.5. Магнитная сила на проволоку с током равна сумме сил на отдельные движу­щиеся заряды

Если в еди­ничном объеме таких за­рядов имеется N, то их число в малом объеме внутри проволоки DV рав­но N D V. Полная магнит­ная сила DV, действую­щая на объем DV, есть . сумма сил на отдельные заряды

Ho Nqv ведь как раз равно j, так что

(13.9)

(фиг. 13.5, б). Сила, действующая на единицу объема, равна JXB.

Если по проволоке с поперечным сечением А равномерно по сечению течет ток, то можно в качестве элемента объема взять цилиндр с основанием А и длиной DL. Тогда

DF = jXBDL. (13.10)

Теперь можно jA назвать вектором тока I в проволоке. (Его величина есть электрический ток в проволоке, а его направле­ние совпадает с направлением проволоки.) Тогда

DF=IXBDL. (13.11)

Сила, действующая на единицу длины проволоки, есть IXB.

Это уравнение содержит важный результат — магнитная

сила, действующая на проволоку и возникающая от движения в ней зарядов, зависит только от полного тока, а не от величины заряда, переносимого каждой частицей (и даже не зависит от его знака!). Магнитная сила, действующая на проволоку вбли­зи магнита, легко обнаруживается по отклонению проволоки при включении тока, как было нами описано в гл. 1 (см. фиг. 1.6, стр. 20).

§ 4. Магнитное поле постоянного тока; закон Ампера

Мы видели, что на проволоку в магнитном поле, создавае­мом, скажем, магнитом, действует сила. Из закона о том, что действие равно противодействию, можно ожидать, что, когда по проволоке протекает ток, возникает сила, действующая на источник магнитного поля, т. е. на магнит. Такие силы дей­ствительно существуют; в этом можно убедиться по отклонению стрелки компаса вблизи проволоки с током. Далее, мы знаем, что магниты испытывают действие сил со стороны других маг­нитов, а отсюда вытекает, что когда по проволоке течет ток, то он создает собственное магнитное поле. Значит, движущиеся заряды создают магнитное поле. Попытаемся понять законы, которым подчиняются такие магнитные поля. Вопрос ставится так: дан ток, какое магнитное поле он создаст? Ответ на этот вопрос был получен экспериментально тремя опытами и под­твержден блестящим теоретическим доказательством Ампера. Мы не будем останавливаться на этой интересной истории, а просто скажем, что большое число экспериментов наглядно показало справедливость уравнений Максвелла. Их мы и возь­мем в качестве отправной точки. Опуская в уравнениях члены с производными по времени, мы получаем уравнения магнито­статики

(13.12)

и

(13.13)

Эти уравнения справедливы только при условии, что все плотности электрических зарядов и все токи постоянны, так что электрические и магнитные поля не меняются со време­нем — все поля «статические».

Можно тут заметить, что верить в существование статиче­ского магнитного поля довольно опасно, потому что вообще-то для получения магнитного поля нужны токи, а токи возникают только от движущихся зарядов. Следовательно, «магнитостатика» — только приближение.

Она связана с особым слу­чаем динамики, когда движется большое число зарядов, ко­торые можно приближенно описывать как постоянный поток зарядов. Только в этом случае можно говорить о плотности тока j, которая не меняется со временем. Более точно эту об­ласть следовало бы назвать изучением постоянных токов. Предполагая, что все поля постоянны, мы отбрасываем члены с d E/dt и dB/dt в полных уравнениях Максвелла [уравнения (2.41)] и получаем два написанных выше уравнения (13.12) и (13.13). Заметьте также, что поскольку дивергенция ротора любого вектора всегда нуль, то уравнение (13.13) требует, что­бы С·j=0. В силу уравнения (13.8) это верно, только если дr / дt =0. Но такое может быть, если Е не меняется со време­нем, следовательно, наши предположения внутренне согласо­ваны.